（問題）
a と b は群 G の元で、それぞれの位数を s,t とする。
〈a〉と〈b〉がともに G の正規部分群であり かつ s と t が互いに素ならば、
元 ab の位数は st である。
（解答例）
〈a〉∩〈b〉は 〈a〉と〈b〉の部分群であり、
その位数は、
ラグランジュの定理より、
s と t の約数です。
条件より、〈a〉∩〈b〉= {e} が得られます。
〈a〉と〈b〉がともに G の正規部分群なので、
次の （問題）より、
ab=ba となります。
したがって、ab の位数は a の位数 s と b の位数 t の積 st となります。
（確認）
（問題）
群 G の正規部分群 N と K に対して、
N ∩ K = {e} ならば、N の元と K の元は交換可能である。
（解答例）
任意の n ∈ N と k ∈ K に対して、元
n-1 k-1 nk を考えましょう。
（このような元を n と k の交換子と言います。）
N は正規部分群なので、n-1 (k-1 nk) ∈ N.
K は正規部分群なので、(n-1 k-1 n)k ∈ K.
よって、n-1 k-1 nk ∈ N ∩ K = {e}
となります。
n-1 k-1 nk = e の両辺に左から kn をかけて、
nk=kn が得られます。