A

群 G の元の位数について

（問題）群 G の元 a と b の位数がそれぞれ s, t とする。
〈a〉∩〈b〉= {e} かつ ab = ba ならば、
元 ab の位数は s と t の最小公倍数である。

（解答例） s と t の最小公倍数を d とします。 ab の位数を m とします。
(ab)^d = a^d b^d = ee = e より、 d は m の倍数です。

e = (ab)^m = a^m b^m の両辺に右から b^-m をかけて、 b^-m=a^m です。
右辺は〈a〉に含まれ、左辺は〈b〉に含まれるので、両辺は〈a〉∩〈b〉= {e} に含まれます。
したがって、b^-m=a^m=e となり、m は s と t の公倍数。よって d の倍数です。

したがって、m = d が示せました。

（系）群 G の元 a と b の位数がそれぞれ s, t とする。
ab = ba かつ s と t が互いに素ならば、元 ab の位数は st である。

（解答例）〈a〉∩〈b〉は〈a〉と〈b〉の部分群であり、その位数は、ラグランジュの定理より、 s と t の約数です。条件より、〈a〉∩〈b〉= {e} が得られ、上の（問題）から（系）が示せます。

（注意）群 G の位数と元 a の位数を間違えないように注意しましょう。
群 G の位数とは G が含む元の個数。
元 a の位数とは a^k=e となる最小の自然数 k のことです。
（そのような k が存在しない時は無限位数であるといいます。）

整数環 Z を加法群とみなし、G への写像
f_a: Z → G　　( n → aⁿ ) を考えましょう。（群準同型になります。）
この写像の核 K ={ k | a^k=e } は Z の Z 部分加群（イデアル）になることが確かめられます。
a^k+k'=a^ka^k'=ee=e, a^rk=(a^k)^r=e^r=e, ( k,k' ∈ K, r ∈Z )

Z は単項イデアル整域ですから K=mZ となる（負でない）整数 m が存在します。
この生成元 m が a の位数です。（ K={0} のときが、無限位数の時に対応しています。）
また、このことから「a^k=e ⇔ k は a の位数の倍数」も確かめられます。

（群の）準同型定理より、 Z/mZ = Im f_a =〈a〉なので、
「元 a の位数は、a が生成する巡回群〈a〉の位数。」ということができます。

上の問題において、仮定は本質的です。

例えば、対称群 S_n (n ≧ 5) において、
(12) は位数 2、　 (123),(134),(345) は位数 3 の元ですが積
(12)(123)=(23),　(12)(134)=(1342),　(12)(345) の位数はそれぞれ、2,4,6 です。
（位数２の巡回群と位数３の巡回群の共通部分は単位群ですが、最後の場合以外は交換可能ではありません。）

また、例えば、加法群 Z₈ × Z₈ において (2,0),(6,4) の位数はともに４ですが、和 (2,0)+(6,4)=(0,4) の位数は 2 です。（加法群なので交換可能ですが、〈(2,0)〉∩ 〈 (6,4) 〉= 〈(4,0)〉ですね。）

次の問題も考えてみましょう。

（問題）群 G の元 a,b に対して、次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) a,b の位数がともに無限ならば、ab の位数も無限である。
(2) a,b の位数がともに有限ならば、ab の位数も有限である。