（問題）
次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) R が単項イデアル整域ならば、多項式環 R[X] も単項イデアル整域である。
(2) R が単項イデアル整域ならば、その部分環 S も単項イデアル整域である。
(3) R が単項イデアル整域ならば、そのイデアル I による剰余環 R/I も単項イデアル整域である。
（考察）
単項イデアル整域の例と単項イデアルではない整域の例をいくつかあげてみましょう。
その中にヒントがあるかもしれません。
また、正しいか，正しくないかは２択ですから、どちらかを選んで考えてみましょう。
（間違ってもかまいません）
正しいと思ったなら、証明して見ましょう。
正しくないと思ったら、反例を探しましょう。
そのうち答えに近づいていきます。
２回生の代数学概論の演習では次のような問題をやっています。
それもヒントになっています。
(a) 有理整数環 Z, 体 F, 体 F 上の (１変数）多項式環 F[X] 等は単項イデアル整域である。
(b) Z 上の多項式環 Z[X] は単項イデアル整域ではない。
(c) 体 F 上の２変数の多項式環 F[X.Y] は単項イデアル整域ではない。
(d) 可換環 R のイデアル I に対して、「 R/I が整域 ⇔ I は素イデアル」。
(b) においては，定数項が偶数であるような多項式全体は単項イデアルになりません。
(c) においては，定数項が 0 であるような多項式全体は単項イデアルになりません。
答えがありますね。