（問題）
9個の元からなる体が存在すれば、構成し、積の演算表をかけ。
（考察）
有限個の元からなる体 F は、ある素数 p に対して、Zp を
最小の部分体として含みます。（素体）
F は Zp 上のベクトル空間とみなせるので、
その次元を m とすれば、 F の元の個数は pm です。
逆に、任意の素数ベキ pm に対して、
Zp 上の m 次既約多項式を f(X) とし、
剰余環 Zp[X]/Zp[X]f(X) を考えれば、
pm 個の元からなる体が構成できます。
9=32 なので、Z3 上の２次既約多項式をひとつ選び、
剰余環を考えましょう。
（解答例）
X2+1 は 0,1,2 を代入しても 0 にならないので、
１次の因子を持ちません。よって既約です。
F = Z3[X]/(X2+1)Z3[X]
= { a+bX | a,b ∈ Z3 }
です。（剰余環の元は代表元のみをかく）
積の演算表は下記の通りです。
| | |
0 | 1 | 2 |
X | X+1 | X+2 |
2X | 2X+1 | 2X+2 |
| 0 | |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 |
| 1 | |
0 | 1 | 2 |
X | X+1 | X+2 |
2X | 2X+1 | 2X+2 |
| 2 | |
0 | 2 | 1 |
2X | 2X+2 | 2X+1 |
X | X+2 | X+1 |
| X | |
0 | X | 2X |
2 | X+2 | 2X+2 |
1 | X+1 | 2X+1 |
| X+1 | |
0 | X+1 | 2X+2 |
X+2 | 2X | 1 |
2X+1 | 2 | X |
| X+2 | |
0 | X+2 | 2X+1 |
2X+2 | 1 | X |
X+1 | 2X | 2 |
| 2X | |
0 | 2X | X |
1 | 2X+1 | X+1 |
2 | 2X+2 | X+2 |
| 2X+1 | |
0 | 2X+1 | X+2 |
X+1 | 2 | 2X |
2X+2 | X | 1 |
| 2X+2 | |
0 | 2X+2 | X+1 |
2X+1 | X | 2 |
X+2 | 1 | 2X |
（注意）
Z3 上の２次の既約多項式は他に
X2+X+2,2X2+2X+1,2X2+1 があります。
２番目は１番目の２倍、３番目は X2+2 の２倍ですね。
演算表を書くので、モニックで計算しやすいものを選びましょう。
また、２行めと４行目を足せば、５行目になりますね。
全部計算しないでいいように考えましょう。