（問題）
可換環 R 上の多項式環 R[X] が単項イデアル整域である必要十分条件は
R が体であることである。
（考察）
（十分性）「R が体なら R[X] が単項イデアル整域である」は基本問題です。
（確認）
逆に、（必要性）「R[X] が単項イデアル整域ならば、R が体である」を示しましょう。
直接「 R の 零元でない任意の元に逆元が存在する」ことを示すか、
または、対偶「 R が体でなければ、R[X] は単項イデアル整域でない」
を示しましょう。
（解答例）
A=R[X] とおきます。R が整域でなければ、
A も整域ではないので、R は整域だと仮定します。
0 ≠ ∀r ∈ R に対して、定数項が r の倍元である多項式全体を
J とすれば、J は A のイデアルになります。
（確認）
A は単項イデアル整域なので、
J は ある多項式 g(X) で生成される単項イデアルです。
r は J に含まれるので、r=h(X)g(X) とあらわされます。
両辺の次数を比較すれば、g(X) の次数は 0 です。
g(X) = c ∈ R.
g(X) の定数項 c は r の倍元、かつ、r ∈ J より、r は c の倍元、
よって、r は c の正則元倍です。
一方、X ∈ J なので、X = cf(X) ですが、一次の係数を比べれば、
c は正則元となります。
したがって、r は正則元です。
（別解）
（対偶）「 R が体でなければ、A は単項イデアル整域でない。」を示します。
R は体ではないので、自明でないイデアル I を持ちます。
（確認）
J = AX+I = {f(X)X+ a | f(X) ∈ A, a ∈ I }
（定数項が I の元である多項式全体）は A のイデアルになります。
（確認）
J は A の単項イデアルではありません。
もし、J が ある多項式 g(X) で生成される単項イデアルだと仮定して、
矛盾を導きましょう。
I の 0 ではない元 a は J に含まれるので、g(X) の次数は 0 です。
よって、g(X) = c ∈ R。
（ c ∈ I です。）
一方、X ∈ J なので、X = cf(X) ですが、一次の係数を比べれば、
c は正則元となります。
これは、I が自明ではないイデアルあることに反します。
二つの解答例の本質は同じですね。
整域 R 上の多項式環 A = R[X] に対して、
R のイデアル I と X が生成する A のイデアル J が
単項イデアルである必要十分条件は I = R or {0}.