（問題）
A =
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
右の４次正方行列 A が対角化可能かどうかを調べよ。
（考察）
基本的な解法は、固有値を求めて、各固有空間に次元を求めるというものです。
ところが、固有多項式はうまく因数分解ができません。
しかし、固有値が実数の範囲にいくつ存在するのかを調べれば、
（問題）
は解決ができます。
（固有値と固有空間は求められませんが）
さらに、この行列は特殊な行列なので、ある"事実"を用いれば、
固有多項式すら計算しなくても、対角化可能かどうかが判断できます。
（代数学概論のノートを読み返してみましょう。）
（解答例）
１行目で展開します
f
A
(X) = det (XE-A) =
X
-1
-1
0
-1
X
-1
0
-1
-1
X
-1
0
0
-1
X
= X
X
-1
0
-1
X
-1
0
-1
X
-(-1)
-1
-1
0
-1
X
-1
0
-1
X
+(-1)
-1
X
0
-1
-1
-1
0
0
X
よって、f
A
(X) = X
4
- 4X
2
- 2X + 1 = (X+1)(X
3
- X
2
- 3X + 1) を得ます。
多項式 (X
3
- X
2
- 3X + 1) は有理数の範囲では因数分解できません。
しかし、微分して増減表を書けば。３つの異なる実数解（≠-1）を持つことが確認できます。
したがって、A は４つの異なる固有値を持つことがわかります。 （近似値で { 2.17, 0.311, -1, -1.48 } ）
固有値が全て異なるので、A は対角化可能です。
固有多項式の計算をしなくても、対角化可能であることがわかりますか？
（どこかで見た質問？）