もともとの質問は
「４次の行列の固有値はどうやって求めるんですか？」
（例題）
右の４次正方行列の固有値を求めよ。
また、対角化可能であるかどうかを調べよ。
| 2 | 0 | 0 | -1 |
| 0 | 2 | -1 | 0 |
| 0 | -1 | 2 | 0 |
| -1 | 0 | 0 | 2 |
（考察）
固有値は固有多項式 fA(X) := det ( XE - A ) の 根でした。
４次正方行列の行列式の 計算 ができれば、問題は解決ですね。
４次の行列の行列式は「 行列式の展開 」を用いて計算しましょう。
（解答例）
固有多項式を求めましょう。
第１行目で展開すれば
| x-2 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | x-2 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | x-2 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | x-2 |
|
= | (x-2) |
|
+ | (-1) |
| = | (x-2) |
(x3-6x2+11x-6) |
+ | (-1) | (x2-4x+3) |
固有多項式は
(x4-8x3+22x2-24x+9)
= (x-1)2(x-3)2
であり、
固有値は 1,3。重複度はそれぞれ、2,2 である。
（または「固有値は {1,1,3,3} である。」とかく。）
固有値 1 に属する固有空間は連立方程式を解いて、
W1 = {t(b,a,a,b) | a,b ∈ C }
固有値 3 に属する固有空間は連立方程式を解いて、
W3 = {t(-d,-c,c,d) | c,d ∈ C }
各固有値の重複度と固有空間の次元が一致するので、対角化可能である。
| 0 | 1 | 0 | -1 |
| 1 | 0 | -1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
対角化する行列としては（例えば）右の行列がとれる。
（解答例 ２）
列和が等しい行列式は全ての行を１行目に加えることで、次のように計算ができる。
| x-2 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | x-2 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | x-2 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | x-2 |
右の行列式は各列ごとに和をとれば (x-1) となるので、
第 2,3,4 行を第 1 行に加えて、第 2,3,4 列から第 1 列を引けば、
次のように変型ができる。
最後に第 1 行で展開をする。
| x-2 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | x-2 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | x-2 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | x-2 |
|
→ |
| x-1 | x-1 | x-1 | x-1 |
| 0 | x-2 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | x-2 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | x-2 |
|
→ |
| x-1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | x-2 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | x-2 | 0 |
| 1 | -1 | -1 | x-3 |
|
= |
(x-1) |
| x-2 | 1 | 0 |
| 1 | x-2 | 0 |
| -1 | -1 | x-3 |
|
よって、固有多項式が得られる。