（問題）
４次正方行列 A に対して、
A4 が零行列でなければ、
A5 も零行列ではない。
（考察）
実数や複素数の世界においては
xk ≠ 0 ならば
x ≠ 0 なので
xk+1 ≠ 0 が成り立ちます。
(k は自然数）
しかし、行列の世界では一般には成り立ちません。
（整域であるかどうかが問題ですね。）
（反例）
ここでは、行列が「４次」であることと、「 A4 が零行列ではない 」
ことに問題のポイントがあるようです。
A の固有値がどうなっているかを考えてみましょう。
対偶「４次正方行列 A に対して、
A5 が零行列ならば、
A4 も零行列である。」
を考える方が分かりやすいかもしれません。
（解答例）
A の固有値を a1,a2,a3,a4 とします。
Frobenius の定理より、A5 の固有値は
(ai)5 です。 ( i=1,2,3,4 )
A5 = O であるとします。
すると (ai)5 = 0 なので、
ai = 0 ( i=1,2,3,4 ) となり、
A の固有多項式は X4 となります。
Cayley-Hamilton の定理を用いれば A4 = 0 となり仮定に反します。
さらに一般化すれば次が示せます。
n 次正方行列 A が An ≠ O をみたせば、
任意の自然数 k に対して、Ak ≠ O である。