（問題）
次の「 Cayley-Hamilton の定理 」の証明は間違ってますか？
（答案）fA(X) = det( XE - A ) の両辺に A を代入して、
fA(A) = det( AE - A ) = det O = 0.
（答え）
間違っています！
（考察）
まず、そもそも求めているものが、スカラーと行列で違っていますね。
一般に fA(X) = det( XE - A ) によって求められた
多項式に 行列 B を代入して得られる「行列」と
X = B とした時の BE - A の行列式（スカラー）には
何の関係もありません。
A を ２次の零行列とすれば、det( XE - A ) = X2.
この X に B を代入すれば B2 という行列が得られます。
一方、det( BE - A ) = det B （スカラー）です。
この二つの関係は？
行列とスカラーなので一致などするわけがありませんね。