（問題）
群 G が 「 x2 = e for ∀x ∈ G 」
を満たす時、G は可換群であることをしめせ。( e は単位元。）
さらに、G が有限群ならば、
G は 位数２の巡回群のいくつかの直積と同型であることを示せ。
（解答例）
∀x,y ∈ G に対して、xyxy = (xy)2 = e
左から yx をかければ、
y2 = x2 = e なので、xy = yx を得る。
G は可換群。
G の位数 |G| に関する帰納法を用いる。
位数が 2 の群は巡回群なので、命題は正しい。
G の極大部分群を M とする。
M は G の部分群なので、
仮定「 x2 = e for ∀x ∈ M 」を満たす。
| M | ＜ | G | なので、
帰納法の仮定より、位数２の巡回群のいくつかの直積と同型である。
M = Z2 × ... × Z2
M に含まれない G の元 a が生成する（位数２の）巡回群を A とする。
f : M × A → G ( (m,x) → mx ) は同型写像なので。
（確認）
G = M × A = (Z2 × ... × Z2 ) × Z2 を得る。
（確認）
「準同型」
(s,x),(t,y) ∈ M × A に対して、
f((s,x)(t,y)) = f((st,xy)) = stxy = sxty = f((s,x))f((t,y)).
「単射」
(s,x),(t,y) ∈ M × A に対して、 f((s,x))=f((t,y)) とする。
この時、sx = ty なので、t-1s =yx-1 である。
左辺は M の元 右辺は A の元で、M ∩ A = {e} なので、
t-1s =yx-1 = e.
よって、(s,x) = (t,y) を得る。
「全射」
Im f は M と a を含む G の部分群であり、
M の極大性より、Im f = G である。（ a は M の元ではない。）
上の証明をよく見れば、G の部分群 M と A が
ma = am for ∀m ∈ M, ∀a ∈ A かつ
M ∩ A = {e} を満たせば、
G は M × A と同型な部分群 ( Im f = MA ) を含むことがわかります。