（問題）
群 G の部分群 H と K に対して、
「 HK が G の部分群 ⇔ HK = KH 」を示せ。
（考察）
H が G の部分群であるための必要十分条件は、
(H1) ∀a,b ∈ H に対して、ab ∈ H,
(H2) ∀a ∈ H に対して、a-1 ∈ H
の両方が成り立つことでした。または
(H) ∀a,b ∈ H に対して、ab-1 ∈ H,
が成り立つことでした。
これにしたがって示してみましょう。
また、集合の言葉で置き換えれば、
(H1) HH ⊆ H,
(H2) H-1 ⊆ H,
(H) HH-1 ⊆ H,
ですね。これと
(H1) HH = H,
(H2) H-1 = H,
(H) HH-1 = H,
は同値です。このことを用いれば、もっと簡潔に示せます。
（解答例）
HK=KH を仮定する。
hk, h'k' ∈ HK に対して、
(hk)(h'k')-1 = hkk'-1h'-1
ここで、(kk'-1)h'-1 ∈ KH = HK なので、
kk'-1h'-1 = h1k1 を満たす
h1 ∈ H, k1 ∈ K が存在し、
(hk)(h'k')-1 = hkk'-1h'-1 =
h (h1k1) =
(h h1)k1 ∈ HK となり HK は部分群。
逆に HK が部分群ならば、任意の h ∈ H, k ∈ K に対して、
h-1k-1 ∈ HK なので、
kh = (h-1k-1)-1 ∈ HK.
よって、KH ⊆ HK を得る。
k-1h-1 = (hk)-1 ∈ HK なので、
k-1h-1 = h2 k2 となる
h2 ∈ H, k2 ∈ K が存在する。
この時、
hk = (k-1h-1)-1 =
(h2 k2)-1=
(k2)-1(h2 )-1∈ KH
となり、HK ⊆ KH を得る。 よって、HK = KH.
（解答例）
HK=KH を仮定すれば、
(HK)(HK) = H(KH)K = HHKK = HK。
(HK)-1 = K-1H-1 = KH = HK。
よって、HK は部分群。
逆に HK が部分群ならば、
HK = (HK)-1 = K-1H-1 = KH