（問題）
整域 R の元 a と b に対して次を示せ。
(1) 「 Ra + Rb = Rd 」⇒「 d は a と b の最大公約元 」
(2) R が 単項イデアル整域ならば
「 Ra + Rb = Rd 」⇔「 d は a と b の最大公約元 」
（考察）
まずは「 b は a の約元 」⇔ 「 Ra ⊆ Rb 」を示しましょう。
（確認）
「 c は a と b の公約元 」⇔ 「 Ra ⊆ Rc かつ Ra ⊆ Rc 」
⇔ 「 Ra + Rb ⊆ Rc 」
したがって、定義にしたがって、命題が示せます。
（解答例）
(1) 「 Ra + Rb = Rd 」⇒
「 Ra + Rb ⊆ Rd かつ " Ra + Rb ⊆ Rc ならば Rd ⊆ Rc " 」
⇒「 d は a と b の公約元 かつ " a と b の公約元 c は d の約元 " 」
⇔「 d は a と b の最大公約元 」
(2)
「 d は a と b の最大公約元 」
⇒「 d は a と b の公約元 かつ " a と b の公約元 c は d の約元 " 」
⇒「 Ra + Rb ⊆ Rd かつ " Ra + Rb ⊆ Rc ならば Rd ⊆ Rc " 」
⇒ ∃r ∈ R s.t. Ra + Rb = Rr ( R は PID ) より
「 Rr ⊆ Rd かつ Rd ⊆ Rr 」
⇔ 「Ra + Rb = Rr = Rd 」
(確認)
「 b は a の約元 」⇔ 「 Ra ⊆ Rb 」
定義にしたがって、確認をしましょう。
「 b は a の約元 」⇔
「 ∃c ∈ R s.t. a = cb 」⇔
「 a ∈ Rb 」⇔
「 Ra ⊆ Rb 」