（問題）
可換環 R の元 a,b に対して、次を示せ。
(1) d が a,b の最大公約元ならば、
任意の正則元 u に対して、du も a,b の最大公約元である。
(2) 正則元 z が a,b の最大公約元ならば、1 も a,b の最大公約元である。
（考察）
a と b の公約元 d が次を満たすとき、a と b の最大公約元といいます。
「 a と b の公約元 c は d の約元。」
この定義に従って、証明しましょう。
（解答）
d は a の約元なので、a = dr となる r ∈ R が存在します。
このとき、a = (du)(u-1r) となる
u-1r ∈ R が存在するので、du は a の約元です。
同様に d は b の約元なので、du は b の約元です。
したがって、du は a,b の公約元です。
a と b の公約元 c に対して、d は a,b の最大公約元なので、
c は d の約元です。d = cc' となる c' ∈ R が存在します。
このとき、du = cc'u となり c は du の約元です。
したがって d が最大公約元であることがわかります。
(2) z が正則元ならば、z-1 も正則元なので、
(1) において d = z, u = z-1 とおけば、(2) が得られます。