（問題）
(m,n)-行列 A による写像
f : Cm → Cn
( v → v A ) に対して、
f が全射、単射、全単射であるための必要十分条件を求めよ。
（考察）
A の行べクトルを a1,...,am とします。
v = ( v1,..., vm ) とおけば、
vA = v1 a1 + ... +
vmam
であり、A の行ベクトルの一次結合となります。
（その係数が v の成分です）
全射の定義
「 ∀u ∈ Cn に対して、
∃ v ∈ Cm s.t.
f(v) = u 」
単射の定義
「 ∀v ≠ v' ∈ Cm に対して、
f(v) ≠ f(v) 」
にしたがって、必要十分条件を述べましょう。
また、行列の階数を使って表してみましょう。
（解答）
(1) 全射の定義 より、
「 ∀u ∈ Cn に対して、
∃ v ∈ Cm s.t.
f(v) = u 」
言い換えると、「 任意のベクトル u ∈ Cn が
u = v1 a1 + ... +
vm am と表せる 」ことと同値です。
したがって、
「 任意のベクトルu ∈ Cn が
A の行ベクトルの一次結合として表せる 」 ことが必要十分です。
このとき、A の行ベクトルが Cn を生成するので、
『 rank A = n 』となることと同値です。
(2) 単射の定義 より
「 ∀v ≠ v' ∈ Cm に対して、
f(v) ≠ f(v') 」なので
「 0 ≠ ∀v ∈ Cm に対して、
f(v) ≠ f(0) = 0 」です。
対偶をとれば、
「 v1 a1 + ... +
vmam = 0 ならば
(v1, ... , vm) = v = 0 」
と同値であり、
これは A の行ベクトルが一次独立であることを意味します。
逆に、 A の行ベクトルが一次独立ならば、
f(v) = f(w) ⇔
w1 a1 + ... +
vmam =
w1 a1 + ... +
wmam
⇔
(v1 - w1) a1 + ... +
(vm - wm) am = 0
⇔
(v1 - w1) = ... =
(vm - wm) = 0
⇔
v = (v1, ... , vm) =
( w1, ... , wm) = w
となり 単射を得ます。
したがって、f が単射で
ある必要十分条件は
「 A の 行ベクトルが一次独立である」ことです。
これは、『 rank A = m 』 であることと同値です。
(3) 全単射 は
全射 かつ
単射 なので、
「 A の行ベクトルが Cn を生成し、かつ一次独立である」
ことと同値です。
言い換えれば、
「 A の行ベクトルが Cn の基底である」ことと同値です。
また、このとき、『 rank A = m = n 』 となるので、
『 A が正則行列である』ことと同値です。