（問題）
G の部分群 H に対して、G 上の関係 〜 を
「 x 〜 y ⇔ xy-1 ∈ H 」と定義すれば、
この関係が同値関係になることを示せ。
（解答例）
任意の a ∈ G に対して、a a-1 = e ∈ H なので a 〜 a
（反射律）が成り立つ。
a,b ∈ G に対して、a 〜 b と仮定する。
この時、a b-1 ∈ H.
H は部分群なので、b a-1 = (a b-1)-1 ∈ H.
（∵ (H2) ）
よって、b 〜 a となり、（対称律）をみたす。
a,b,c ∈ G に対して、a 〜 b かつ b 〜 c と仮定する。
この時、a b-1 ∈ H かつ b c-1 ∈ H
H は部分群なので、
a c-1 = (a b-1)( b c-1) ∈ H.
（∵ (H1) ）
よって、a 〜 c となり、（推移律）をみたす。
したがって、関係 〜 は同値関係である。