（問題）
Artin 環 R が 整域ならば体であることを示せ。
（考察）
可換環 R の任意のイデアルの減少列
I1 ⊇ I2 ⊇ … ⊇ Ik ⊇
Ik+1 ⊇ …
に対して In ⊇ In+1
となる n が存在するとき、R を Artin 環 といいます。
（解答）
0 ではない任意の a ∈ R に対して、a が正則元であることを示します。
イデアルの減少列、
aR ⊇ a2R ⊇ … ⊇ akR ⊇ ak+1
⊇
を考えます。
R は Artin 環なので
anR = an+1R
となる n が存在します。
an ∈ anR = an+1R
より、
an = an+1b
となる b ∈ R が存在します。
R は整域、かつ 0 ≠ a なので、 1= ab となり a は正則元となります。
したがって、R は体です。