Q & A

（問題）位数が 15 の群は位数15の巡回群である。

（考察）アーベル群の基本定理より、位数１５の可換群は位数15の巡回群なので、位数が１５の非可換群が存在しないことを示します。
位数が１５の非可換群 G が存在すると仮定して矛盾を導きます。
「ラグランジュの定理」より、位数が15の群 G の元の位数は 15 の約数なので, 1,3,5,15 です。位数が 15 の元が存在すれば、 G は位数15の巡回群ですから、 G には位数が 15 の元が存在しません。位数が 3,5 の元の個数を共役類を用いて数えてみましょう。

（解答例）非可換 G の中心 Z(G) は Z(G) ≠ G であり、指数は素数ではないので、G = {e} です。
よって e ≠ x ∈ G の中心化群 C_G(x) ≠ G です。
また、x の位数は 3 または 5 であり、 {e} ≠〈x〉⊂ C_G(x) ≠ G なので、〈x〉= C_G(x) となります。
したがって、x の位数が 3 ならば x を含む共役類の長さは |G|/|C_G(x)| = 15/3 = 5 であり、
x の位数が 5 ならば x を含む共役類の長さは |G|/|C_G(x)| = 15/5 = 3 です。

G を共役類に分解したとき、長さ 3 の共役類の個数を s, 長さ 5 の共役類の個数を t とすると、
15 = |G| = 1+ 3s + 5t であり、その解は (s,t) = (3,1) だけです。
よって、長さが 5 の共役類はただひとつであり、位数が３の元の個数は 5 個（奇数個）であることがわかります。

一般に群 G において位数が 3 の元全体は {a,a^-1} と必ず逆元と対になるので、偶数個です。

矛盾が生じたので、位数が１５の非可換群は存在しません。

（解答例） Sylow の定理
「素数 p に対して、位数が p^km の群（ m は p と素な整数。）は位数が p^k の部分群を含む。その個数は mod p で 1 である。」
を用いれば、位数 3 の部分群はちょうど１個であり、位数 5 の部分群もちょうど１個であることがわかります。
したがって、位数 3 の元は 3-1 = 2 個（単位元をのぞく）であり、位数 5 の元は 5-1 = 4 個　であることがわかります。
のこり 15-1-2-4 = 8 個の元は位数が 15 であり、G は位数が 15 の巡回群です。

（φ(15) = 8 なので、生成元の個数が 8 個で検算ができました。）
位数が 3 の部分群 H と位数が 5 の部分群 N に対して、 G = H × N （直積）となります。