（問題）
複素数体 C 上の２次全行列環
R = M2(C) の両側イデアルを全て求めよ。
（考察）
単位イデアル R と 零イデアル O は R の両側イデアルです。
この２つしかないことを示しましょう。
（解答）
R の両側イデアル I が零イデアルでなければ、
零行列ではない行列 A を含みます。
E1, E2, T は R の元で
A は R の両側イデアル I の元なので、
| E1AE1 | = |
| |
E1AE2 | = |
| |
E2AE1 | = |
| |
E2AE2 | = |
|
は全て I の元です。
a が 0 でない場合は 1/a 倍の単位行列をかけた B、
さらに T を 右、左、左右からかけた行列も全て I の元です。
したがって、任意の２次正方行列 X
に対して、
X = xE B + yE TB + zE BT + wE TBT も I の元となり、I = R を得ます。
b,c,d が 0 でない場合も同様に I = R が得られます。