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（問題） 標数 p の体 F の拡大体 L の元 a に対して、 a^p ∈ K であるが、a は K の元ではないとする。
この時 K 上の多項式 f(X) = X^p - a^p は K 上既約である。

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（ヒント） p ≠ 0 なので p は素数である。 確認
拡大体 L においては f(X) = X^p - a^p = (X - a)^p と分解している。
したがって、(X - a)^t (1 ≦ t ≦ p-1) が K 上の多項式でないことを示せばよい。

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（解答例）

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もし、(1 ≦ t ≦ p-1) に対して、(X - a)^t ∈ K[X] とする。 この時、a^t ∈ K である。
t と p の最大公約数は 1 なので tb + pc = 1 となる整数　b,c が存在する。 （確認） よって

a = a¹ = a^{tb + pc} = (a^t)^b (a^p)^c ∈ K

となり仮定に反する。

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（考察） I_a = { i ∈ Z | aⁱ ∈ K } は Z のイデアルであることを確認しましょう。

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この時、問題の仮定は、「 I_a は p を含み、1 を含まない 」です。
pZ ⊆ I_a ⊂ Z であり、Z は 単項イデアル整域なので pZ は 素イデアル、したがって極大イデアルなので pZ = I_a. したがって、a^t　(1 ≦ t ≦ p-1) は K には含まれない。

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