（問題）
自然数 s と t の最大公約数を d とする時、
sa + tb = d となる整数 a,b が存在する。
（ヒント）
0 ではない整数 s,t に対して、
I = { sx + ty | x,y ∈ Z } は Z のイデアルであることを示しましょう。
Z は 単項イデアル整域なので I = dZ となる d ∈ Z が存在します。
この d が s と t の最大公約数になることを確認しましょう。
（解答例）
sZ + tZ = { sx + ty | x,y ∈ Z } は Z のイデアルです。
(確認)
Z は 単項イデアル整域ですから、tZ + sZ = dZ となる整数 d が存在します。
s,t ∈ tZ + sZ = dZ なので、s,t は d の倍数、
したがって、d は s,t の公約数であることがわかります。
任意の s,t の公約数 m に対して、sZ ,tZ ⊂ mZ なので
d ∈ dZ = sZ +tZ ⊂ mZ, となり、
d は s と t 最大公約数であることがわかります。
d ∈ dZ = sZ +tZ なので、
d = sa + tb となる a,b ∈ Z が存在します。