（問題） 群 G の元 a,b に対して、 次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) a,b の位数がともに無限ならば、ab の位数も無限である。
(2) a,b の位数がともに有限ならば、ab の位数も有限である。
（ヒント） まずは反例を探してみます。 探しても、見つからなければ、「正しい」と思って 証明をしてみましょう。
（考察） 有限群の元の位数は全て有限なので、無限群を考える必要があります。
可換群 G において、任意の有限位数の元 c と任意の無限位数の元 x に対して、 y= x-1c とおけば y は無限位数の元になります。 （確認）
したがって、無限位数の元 x,y の積が有限位数の元になる例 を見つけることができます。
（反例） ０でない複素数がなす乗法群 C* を考えます。 有限位数の元を見つけましょう。
z = a + bi ( a,b ∈ R , i2=-1 ) に対して、絶対値をとる写像、

f : C* → R* 　 ( a + bi → a2 + b2 ) 　 は（群）準同型になります。（確認）

位数が n の元 z に対して、
f(z)n = f(zn) = f(1) = 1 　 f(z) は正の実数なので、 f(z)=1 となります。
したがって、C* において、 位数が有限の元は絶対値が１でなければなりません。
よって、例えば 1 の 6 乗根 c = (1 + √3 i)/2 と 無限位数の元 x = 2-1 から上の考察によって、 ２つの無限位数の元 a = x, b = x-1c を作れば、 その積が有限となる反例を見つけることができます。
可換群においては有限位数の２つの元の積はまた有限です。
a が位数 m の元、b が位数 n の元ならば、 (ab)mn=amnbmn =(am)n(bn)m = e です。
非可換群ではどうでしょうか？
無限位数の非可換群の例としては例えば 実数体 R 上の一般線形群 G := GL2(R) を考えてみます。 A ∈ G が有限位数であるための条件は何でしょうか？
行列式をとる写像、 det : G → R* ( A → det A ) 　 は（群）準同型になります。 （確認）
位数が n の元 A に対して、
(det A)n = det(An) = det(E) = 1 　 det A は実数なので、 det A = ± 1 となります。
したがって、GL2(R) において、 位数が有限の元は行列式が ±１でなければなりません。
A =
0 -1
2 0
　 B =
1/2 0
0 1
　 C =
0 -1
1 0
そこで例えば、右のように行列 A,B をおけば、 行列式は 2,1/2 で、無限位数の元ですが、 その積 AB=C は位数が 4 の行列になります。
非可換群においても (1) の反例がみつかりました。
(2) の反例を探してみましょう。
G := GL2(R) において、 位数有限の元 X と Y の積 Z=XY の位数が無限であるとします。
このとき det X = ±1, det Y = ±1 なので、 det Z = ± 1 となります。
det Z = 1 である無限位数の行列 Z をみつけましょう。
Z =
2 0
0 1/2
分かりやすく対角行列を考えます。
右のような行列を取れば無限位数になります。
X =
0 -1
1 0
　 Y =
0 1/2
-2 0
X として上で見つけた位数が４の行列をとれば、
Y = X-1Z もまた、位数有限であり、 （確認）
その積である XY = Z は無限位数の行列となり、 (2) の反例となります。
（問題） 群 G の元 a,b に対して、 次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) a,b の位数がともに無限ならば、ab の位数も無限である。
(2) a,b の位数がともに有限ならば、ab の位数も有限である。
（解答） (1) 正しくない
（反例） C* において a = 2-1,　 b = (1 + √3 i)
GL2(R) において 上のように A, B をおく。
(2) 正しくない
（反例） GL2(R) において 上のように X, Y をおく。