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（問題） 群 G の部分群 H,K と a ∈ G に対して、 次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) H と aHa^-1 は同型である。
(2) H と K が同型ならば K = bHb^-1 となる b ∈ G が存在する。

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（考察） 群の内部自己同型と外部自己同型を考えましょう。
群 G の元 x に対して、x による共役写像 f_x を
f_x : G → G 　 ( a → xax^-1 )
と定義すれば G から G 自身への同型写像になります。 （確認）
このような自己同型写像を内部自己同型といいます。
それに対して、内部自己同型ではない自己同型写像を外部自己同型といいます。

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(1) 部分群 H の共役部分群 aHa^-1 とは まさに内部自己同型 f_a による 像ですから、同型になります。
(2) の問題は、「同型な二つの部分群は内部自己同型であるか？」 ということです。 外部自己同型が存在する群を考えてみましょう。
例えば、可換群（アーベル群）を考えてみます。
可換群においては、内部自己同型は全て恒等写像になります。
一方、「アーベル群の基本定理」によれば、 「全てのアーベル群は巡回群の直積に同型であり、不変系がただ一つ定まる。」 ので、不変系が同じなら同型です。
したがって、同じ不変系の部分群を２つ以上含むような アーベル群 を考えれば反例が見つかります。

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（解答例） (1) a による内部自己同型　(a による共役写像)
f_a : H → aHa^-1 ( h → aha^-1 )
は H から aHa^-1 への同型写像ですから H と aHa^-1 は同型です。（正しい）

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(2) G = { (x,y) | x,y ∈ {1,-1} } を考えます。(演算は成分ごとの積）
これは、Z₂ + Z₂ と同型な 不変系 (2,2) の可換群です。 その部分群 H,K を
H = { (x,1) | x ∈ {1,-1} },　 K = { (1,y) | y ∈ {1,-1} }
とすれば、H,K はともに、位数２の巡回群なので同型です。
しかし、G は可換群なので bHb^-1 = H ≠ K (∀b ∈ G ) です。 （正しくない）

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不変系 (p,p) の可換群の中に全く同じ反例が見つけられますね。

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ちなみに上の (2) においては g : G → G 　 ( (x,y) → (y,x) ) が H を K に移す外部自己同型です。

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（確認） f_x : G → G 　 ( a → xax^-1 ) は同型写像。

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（準同型）f_x(ab) =xabx^-1 = xax^-1 xbx^-1 = f_x(a)f_x(b)
（単射） f_x(a) = f_x(b) ⇔ xax^-1= xbx^-1 ⇔ a = b
（全射）∀a ∈ G, ∃x^-1ax ∈ G 　 s.t. 　 f_x(x^-1ax)=a

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さらに理解を深めるために、 内部自己同型に関する下記の問題を考えてみましょう。

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（問題） 群 G の内部自己同型全体は写像の合成に関して群である。（内部自己同型群という）
内部自己同型群は G/Z(G) と同型である。
ただし、Z(G) ={ x ∈ G | ax=xa　for　∀a ∈ G } は G の中心である。

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