（問題）
n 次元ベクトル空間 V の部分空間 W の次元が n ならば V = W
（考察）
知っている事実ではあり、よく使っていることと思いますが、
一回は示しておきましょう。
基底変換の行列を用いて示す方法と、
基底の個数の一意性に戻る方法とがあります。
次元とは基底の個数のことですが、これが基底の取り方によらず
一定であることの証明から、その系として上の問題を解くこともできます。
（解答例）
体 F 上のベクトル空間とします。
（実数体 R や 複素数体 C と思って考えてもかまいません）
{ v1,...,vn } を V の基底、
{ w1,...,wn } を W の基底とします。
wi は V の元なので、
基底 { v1,...,vn } の一次結合で表せます。
wi = a1,iv1+ +an,ivn
(i=1,...,n)
これは、(i,j) 成分が ai,j である行列 A,
w= [w1,...,wn], v =[v1,...,vn]
を用いて、w = vA と表せます。
(1)
Fn の列ベクトル x=T(x1,...,xn)
に対して、
{ w1,...,wn } が 一次独立なので、
「 wx = 0 ⇔ x = 0 」 (2)
{ v1,...,vn } が 一次独立なので、
「 vx = 0 ⇔ x = 0 」 (3)
(2)(1)(3) より、
x = 0 ⇔ wx = 0 ⇔ vAx = 0 ⇔ Ax = 0 となり、A は正則行列です。
（確認）
∀ u ∈ V は
u = b1v1+ +bnvn と表せます。
このとき b =T(b1,...,bn) ∈ Fn
とすれば
u = vb = (wA-1)b = wb' ( b'= A-1b ) となり、
u は { w1,...,wn } の一次結合で表せるので u ∈ W です。
したがって、V⊆W です。
W は V の部分空間 なので V = W となります。
（次元の一意性） まず下の事実を示しましょう。
(Fact)
n ≦ m は正の整数とする。
ベクトル空間 V は n 個の元からなる基底 { v1,...,vn } を持ち、
m 個の一次独立な V の ベクトル { x1,...,xm } が存在するとする。
このとき { v1,...,vn } の順番を適当に並びかえれば、
各 0 ≦ k≦ n に対して
Bk := { x1,...,xk ,vk +1,...,vn }
は V の基底となるようにできる。特に m = n である。
（証明）
Bk が基底になることを k に関する帰納法で示します。
k=0 の時 B0 = { v1,...,vn } は基底です。
1 ≦ s ≦ m とし、 Bs-1 が基底であると仮定します。
このとき
xs = a1x1 + ...
+ as-1xs-1
+ asvs+ ... + anvn
と一次結合で書けます。( ai ∈ F ) （4）
もし a s = ... = an=0 ならば
{ x1,...,xm } が一次独立であることに反するので 、
少なくともひとつは 0 ではありません。。
順番を並び換えて a s ≠ 0 としてかまいません。
このとき Bs が基底になることを示します。
Bs-1 が基底なので ∀ u ∈ V は
u = b1x1+ +bs-1xs-1+
bsvs+ +bnvn と表せます。
（5）
（4） の両辺に
as-1 をかけて、
vs = ... の形に変形して （5）
に代入すれば、 v は Bs の一次結合で表せます。
また一次関係式
c1x1+ ... + csxs
+ cs+1vs+1+ ... + cnvn = 0
に （4） を代入して整理すれば、
Bs-1 の一次関係式、
(c1+csa1) x1+ ... +
(cs-1+csas-1) xs-1+
csasvs+
(cs+1+csas+1) vs+1+ ... +
(cn+csan) vn = 0
を得ます。
Bs-1 は基底なので係数は全て 0 であり、
c1 = ... = cn =0,
すなわち、Bs も一次独立であることがわかります。
したがって Bs も基底となります。
特に、{ x1,...,xm } は基底となるので n = m です。
（定理）
ベクトル空間 V が有限個の元から基底を持てば、
その個数は基底の取り方によらず一定である。
（証明）
基底 { v1,...,vn } が存在します。
別の基底
{ u1,...,um } に対して、
上の Fact より、m = n を得ます。
（問題の解答例）
V の基底 { v1,...,vn }
と W の基底 { w1,...,wn } に対して
Fact を用いれば、
Bn = { w1,...,wn }
が V の基底であることが分かります。
「有限次元ベクトル空間の基底の個数（次元）は基底の取り方によらず一定である。」
「 n 次元ベクトル空間の n+1 個のベクトルは一次従属である。」
という事実を認めれば、
もっと簡単に解答ができます。
（問題の解答例）
{ w1,...,wn } を W の基底とします。
V の任意の元 v に対して、
{ v, w1,...,wn } は一次従属なので、
kv+a1w1+...+anwn=0
をみたす
(k,a1,...,an)
で全ては 0 でないものが存在します。
{ w1,...,wn } は一次従属なので、
k≠0 となり、v は w1,...,wn の一次結合で表せます。
したがって、{ w1,...,wn } は V を生成します。
V⊆W です。
W は V の部分空間 なので V = W となります。