Box

質問箱

ここでは、学生からの質問とそれに対する解答例を書き込んでいくことにします。

代数のゼミを希望する学生や大学院を志望する学生は、演習問題だと思って考えてみましょう。

また、質問があれば " e-mail " で受け付けています。

（問題）複素数体 C 上の２次全行列環 R = M₂(C) の両側イデアルを全て求めよ。

（問題）複素数体 C 上の多項式環 R = C[X] において、 X を含むような　R のイデアルを全て求めよ。

（問題）可換環 R のイデアル I と J に対して、 IJ は R のイデアルであることを示せ。

（問題）位数が 15 の群は位数15の巡回群であることを示せ。

（問題） Artin 環 R が整域ならば、体であることを示せ。

（問題）体 K から環 R への準同型写像は単射であることを示せ。

（問題）次の行列の行列式を求めよ。

（問題） (m,n)-行列 A による写像 f : C^m → Cⁿ ( v → v A ) に対して、f が全射、単射、全単射であるための必要十分条件を求めよ。

（問題） (1) 有理整数環 Z の部分環の個数を求めよ。
(2) 有理数体 Q の部分体の個数を求めよ。
(3) 有理数体 Q の部分環の個数を求めよ。

（問題）体 F 上のベクトル空間 V の部分空間 W ⊆ U に対して、商空間 V/W, V/U, U/W を考える。
V/W が有限次元ならば V/U と U/W も有限次元であり, dim(V/W) = dim(V/U) + dim(U/W) が成り立つことを示せ。

（問題）可換環 R の元 a,b に対して、次を示せ。
(1) d が a,b の最大公約元ならば、任意の正則元 u に対して、du も a,b の最大公約元である。
(2) 正則元 z が a,b の最大公約元ならば、1 も a,b の最大公約元である。

（問題）可換環 R と R' に対して、環準同型写像 f : R → R' の像を S とする。（ S = Im f = f(R). )
S のイデアル J' の逆像 J = f^-1(J') = { a ∈ R | f(a) ∈ J' } に対して、次を示せ。
(1) J は R のイデアルである。
(2) J' が S の素イデアルならば J も R の素イデアルである。
(3) J' が S の極大イデアルならば J も R の極大イデアルである。

（問題）次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) 体 F の素体が Q ならば F は有限体ではない。
(2) 体 K の素体が Z_p ならば K は有限体である。

（問題）　整域 R の元 a と b に対して次を示せ。
(1) 「 Ra + Rb = Rd 」⇒「 d は a と b の最大公約元」
(2) R が単項イデアル整域ならば「 Ra + Rb = Rd 」⇔「 d は a と b の最大公約元」

（問題）可換環 R のイデアル I による剰余環 R/I に対して、 R/I のイデアルと I を含む R のイデアルの間に一対一の対応があることを示せ。

（問題）整数係数のモニック多項式 f(X) に対して、 f(q) = 0 となる有理数 q は整数であることを示せ。

（問題）体 E = K(α) が体Ｋの単純拡大で　M が E と K の中間体のとき、E = M(α) となることを示せ。

（問題）連続する６個の自然数を二つの組に A と B にわけて、その積を計算した時、二組の積が一致することはあるか？

（問題） 5 次対称群 S₅ には指数が 4 の部分群は存在しないことを示せ。

（問題）有限可換群 G の元の位数の最大値を m とする時、 G の任意の元の位数は m の約数であることを示せ。

（問題）５次対称群 S₅ の共役類の個数、各共役類が含む元の個数、各共役類の代表元の中心化群を求めよ。

（問題）群 G の部分群 H と K に対して、「 HK が G の部分群 ⇔ HK = KH 」を示せ。

（問題）群 G が「 x² = e for ∀x ∈ G 」を満たす時、G は可換群であることをしめせ。( e は単位元。）
さらに、G が有限群ならば、 G は位数２の巡回群のいくつかの直積と同型であることを示せ。

（問題）次の「 Cayley-Hamilton の定理」の証明は間違ってますか？
（答案）「f_A(X) = det( XE - A ) の両辺に A を代入して、 f_A(A) = det( AE - A ) = det O = 0.」

（問題）次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
「４次正方行列 A に対して、 A⁴ が零行列でなければ、A⁵ も零行列ではない。」

（問題）４次正方行列 A の固有値の固有値を求めよ。また対角化可能かを調べよ。（問題１）（問題２）

（問題）可換環 R 上の多項式環 R[X] が単項イデアル整域である必要十分条件は R が体であることである。

（問題） 9 個の元からなる体が存在すれば、構成し、積の演算表をかけ。

（問題）次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) R が PID ならば、多項式環 R[X] も PID である。
(2) R が PID ならば、その部分環 S も PID である。
(3) R が PID ならば、そのイデアル I による剰余環 R/I も PID である。

（問題） q 元体 F_q上の n 次元ベクトル空間の　2 次元部分空間の個数を求めよ。

（問題）「任意の体はユークリッド整域である。」正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。

（問題）位数が 6 の群は位数６の巡回群か３次の対称群に同型である。

（問題）ガウス整数環 Z[i] = { a+bi | a,b ∈ Z } において -1+12i と 4+7i の最大公約元を求めよ。

（問題） n 次元ベクトル空間 V の部分空間 W の次元が n ならば、 V = W

（問題）群 G の部分群 H,K と a ∈ G に対して、次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) H と aHa^-1 は同型である。
(2) H と K が同型ならば K = bHb^-1 となる b ∈ G が存在する。

（問題）群 G の元 a,b に対して、次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) a,b の位数がともに無限ならば、ab の位数も無限である。
(2) a,b の位数がともに有限ならば、ab の位数も有限である。

（問題）自然数 s と t の最大公約数を d とする時、 sa + tb = d となる整数 a,b が存在する。

（問題）標数 p ( ≠ 0) の体 F の拡大体 L の元 a に対して、 a^p ∈ K であるが、a は K の元ではないとする。
この時 K 上の多項式 f(X) = X^p - a^p は K 上既約である。

（問題）ラグランジュの定理「有限群 G の部分群 H に対して、|G| = [G:H]|H| が成り立つ。」を証明せよ。

（問題）次を示せ。
任意の（可換）体 K には最小の部分体 F が存在する。この時 F はある素数 p に対する Z_p または有理数体 Q と同型である。

（問題）次の条件をみたす体 F は存在するか？すれば、例を一つあげよ。しないならば、それを証明せよ。ただし、Q, R, C はそれぞれ、有理数体、実数体、複素数体であり、 ⊂ は真部分集合を意味する。
(1) Q ⊂ F ⊂ R
(2) R ⊂ F ⊂ C　
(3) Q ⊂ F ⊂ C, F は R に含まれない。

（問題）自然数 n について、次の条件をみたす群を決定せよ。
「 G は位数が n の有限群で、n の任意の約数 k に対して、 G は位数 k の部分群をただ一つふくむ。」