問題
次の命題が正しければ ◯、 正しくなければ × で答えよ。
位数が 18000 の可換群は（同型を除いて）ちょうど２０個存在する。
Z
18
+ Z
24
+ Z
15
の不変系は (3,6,360) である。（ただし + は直和をあらわす。）
不変系が (2,6,12) の可換群には位数が3の元がちょうど８個存在する。
問題の解説
（問題）
位数が 18000 の可換群は（同型を除いて）いくつ存在するか？
（解答）
18000 = 2
4
3
2
5
3
である。
2
4
は (2
4
),(2,2
3
), (2
2
,2
2
),(2,2,2
2
), (2,2,2,2) の ５通りの分解が、
3
2
は (3
2
),(3,3) の ２通りの分解が、
5
3
は (5
3
),(5,5
2
),(5,5,5,) の ３通りの分解があるので、
全部で ５×２×３ = ３０ 個の可換群が存在する。
（問題）
Z
18
+ Z
24
+ Z
15
の不変系を求めよ。
（解答）
中国式剰余定理をもちいれば Z
18
〜 Z
2
+ Z
9
, Z
24
〜 Z
8
+ Z
3
, Z
15
〜 Z
3
+ Z
5
したがって
Z
18
+ Z
24
+ Z
15
〜
(Z
2
+ Z
9
)+ ( Z
8
+ Z
3
)+ Z
3
+ Z
5
〜
(Z
3
)+( Z
2
+ Z
3
)+ (Z
8
+ Z
9
+ Z
5
)
〜
Z
3
+ Z
6
+ Z
360
（point）Z
k
と Z
t
は
k と t が互いに素である時だけ、
Z
kt
と同型。
よって、不変系は (3,6,360) である。
（問題）
不変系が (2,6,12) の可換群には位数 3 の元がちょうど [?] 個存在する。
（方針）
不変系
が (d
1
, … ,d
r
) の可換群 G は G' = Z
d
1
+ … + Z
d
r
と同型である。
したがって、同型な群 G' において 位数 k の元の個数を求めればよい。
(a
1
,...,a
r
) ∈ G' の位数が k がある条件は k(a
1
,...,a
r
)=(0,...,0) であり、 ka
i
∈ d
i
Z である。
この条件をみたす元の位数が実際に k であるかどうかを確認すればよい。
（解答）
不変系が (2,6,12) の可換群 G は Z
2
+ Z
6
+ Z
12
と同型であり、
第１成分が Z
2
の元、 第２成分が Z
6
の元、 第３成分が Z
12
の元であるような ３次のベクトル全体がなす加法群である。
位数が3の元である条件は 3(a,b,c)=(0,0,0) となることであり、
a=0, b=0,2,4, c=0,4,8 である。
(a,b,c)=(0,0,0),(0,0,4),(0,0,8), (0,2,0),(0,2,4),(0,2,8), (0,4,0),(0,4,4),(0,4,8)
であるが、 このうち、(0,0,0) の位数は 1 であり、 それ以外は位数が 3 であるから、位数 3 の元は８個である。