固有値問題のヒント
2
0
0
-1
0
2
-1
0
0
-1
2
0
-1
0
0
2
（問題）
右の行列の固有値を求めよ。
また対角化可能であるかを調べよ。
x-2
0
0
1
0
x-2
1
0
0
1
x-2
0
1
0
0
x-2
（解答）
固有多項式は右の行列式を求める。
4次の行列の行列式は一般には行列式の展開を行って 次数を下げて計算する。
第１行目で展開すれば
x-2
0
0
1
0
x-2
1
0
0
1
x-2
0
1
0
0
x-2
=
(x-2)
x-2
1
0
1
x-2
0
0
0
x-2
+
(-1)
0
x-2
1
0
1
x-2
1
0
0
=
(x-2)
(x
3
-6x
2
+11x-6)
+
(-1)
(x
2
-4x+3)
固有多項式は
(x
4
-8x
3
+22x
2
-24x+9) = (x-1)
2
(x-3)
2
であり、固有値は 1,3。重複度はそれぞれ、2,2 である。
（または「固有値は {1,1,3,3} である。」とかく。）
固有値 1 に属する固有空間は連立方程式を解いて、
{
t
(b,a,a,b) | a,b ∈ C }
固有値 3 に属する固有空間は連立方程式を解いて、
{
t
(-d,-c,c,d) | c,d ∈ C }
0
1
0
-1
1
0
-1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
各固有値の重複度と 固有空間の次元が一致するので、対角化可能である。 対角化する行列としては（例えば）右の行列がとれる。
（注意）
列和が等しい行列式は全ての行を１行目に加えることで、 次のように計算ができる。
x-2
0
0
1
0
x-2
1
0
0
1
x-2
0
1
0
0
x-2
右の行列式は各列ごとに和をとれば (x-1) となるので、 第 2,3,4 行を第 1 行に加えて、第 2,3,4 列から第 1 列を引けば、 次のように変型ができる。
最後に第 1 行で展開をする。
x-2
0
0
1
0
x-2
1
0
0
1
x-2
0
1
0
0
x-2
-->
x-1
x-1
x-1
x-1
0
x-2
1
0
0
1
x-2
0
1
0
0
x-2
-->
x-1
0
0
0
0
x-2
1
0
0
1
x-2
0
1
-1
-1
x-3
=
(x-1)
x-2
1
0
1
x-2
0
-1
-1
x-3
よって、固有多項式が得られる。