単因子とJordan 標準形
（問題）
下記の Jordan 行列 J に対して
xE - J
の単因子を求めてみよう。
（解答）
| xE-J2= |
| → |
| → |
| -1 | 0 | x-a |
| 0 | 0 | (x-a)2 |
| 0 | x-a | 0 |
| → |
| -1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | (x-a)2 |
| 0 | x-a | 0 |
| → |
|
| xE-J3= |
| x-a | -1 | 0 |
| 0 | x-a | -1 |
| 0 | 0 | x-a |
| → |
| -1 | 0 | x-a |
| x-a | -1 | 0 |
| 0 | x-a | 0 |
| → |
| -1 | 0 | x-a |
| 0 | -1 | (x-a)2 |
| 0 | x-a | 0 |
| → |
| -1 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | (x-a)2 |
| 0 | 0 | (x-a)3 |
| → |
|
単因子は (x-a,x-a,x-a), (1,x-a,(x-a)2)
(1,1,(x-a)3) である。
（問題）
下記の行列 A に対して、固有値を求め、
xE - A の単因子を求めてみよう。
また、 Jordan 標準形を求めてみましょう。
（解答）
| xE-A = |
| → |
| → |
| 1 | x-a | -2 |
| 0 | 0 | x-a |
| 0 | -(x-a)2 | 2(x-a) |
| → |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | x-a | 0 |
| 0 | 2(x-a) | (x-a)2 |
| → |
|
最後の行列を U とすれば、 U は xE-A の初等変形であり、
(xE-A) =PUQ となる正則行列 P,Q が存在する。
よって、fA(x)=det(xE-A)=c det(U)=c (x-a)3
となり、A の固有値は a (重複度 3) である。
（c = det(PQ) は スカラー。）
また、A の Jordan 標準形を J とすれば、A と J は 相似 である。
A=R-1JR となる正則行列 R が存在する。
この時、xE-A = R-1(xE-J)R であるから、
xE-A は xE-J の初等変形であり、その単因子は一致する。
したがって、A の Jordan 標準形は J2 である。
同様に、xE-B, xE-C の単因子を求めれば、
ともに、固有値はともに、a (重複度 3) であり、
Jordan 標準形はそれぞれ J2, J3 であることがわかる。
| xE-B = |
| x-a-1 | 1 | -1 |
| 0 | x-a | 0 |
| 1 | -1 | x-a+1 |
| → |
| 1 | -1 | x-a+1 |
| 0 | x-a | 0 |
| x-a-1 | 1 | -1 |
| → |
| 1 | -1 | x-a+1 |
| 0 | x-a | 0 |
| 0 | x-a | -(x-a)2 |
| → |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | x-a | 0 |
| 0 | 0 | -(x-a)2 |
|
| xE-C = |
| x-a+1 | 2 | -1 |
| -1 | x-a-1 | 0 |
| -1 | -1 | x-a | |
| → |
| -1 | x-a-1 | 0 |
| x-a+1 | 2 | -1 |
| -1 | -1 | x-a | |
| → |
| -1 | 0 | 0 |
| x-a+1 | (x-a)2+1 | -1 |
| -1 | -(x-a) | x-a | |
| → |
| -1 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | (x-a)2+1 |
| 0 | x-a | -(x-a) | |
| → |
|