Jordan 標準形と最小多項式
（補題）
n 次正方行列 A の最小多項式を p(x) とする。
(1) ある多項式 f(x) に対して f(A)=O ならば f(x) は p(x) で割り切れる。
(2) 相似な行列の最小多項式は等しい。
（証明）
(1) f(x) を p(x) で割った商を Q(x), 余りを R(x) とすれば f(x)=p(x)Q(x)+R(x) s.t. deg R < deg p.
このとき、O=f(A)=p(A)Q(A)+R(A)=R(A)
deg p の最小性より R(x)=0 となり主張を得る。
(2) 相似な行列 A,B の最小多項式を p(x),q(x) とする。 B = S
-1
AS となる正則行列 S が存在する。
p(B) = p(S
-1
AS) = S
-1
p(A)S = S
-1
OS = O. なので (1) より、 q(x) は p(x) を割り切る。
対称的に、p(x) は q(x) を割り切り、 最高次の係数はともに 1 なので p(x)=q(x) を得る。
したがって、行列 A の最小多項式と A の Jordan 標準形の 最小多項式は一致する。
行列 A の最小多項式を求める方
(1) xE-A の単因子 (d
1
(x),...,d
n
(x) ) を求める。
(2) この時、d
n
(x) が求める最小多項式である。
（ただし、d
n
(x) は モニック とする。）
（問題）
次の行列の 単因子、Jordan 標準形、最小多項式を求めよ。
A =
0
-2
-1
1
2
1
0
1
1
B =
1
2
0
1
3
2
-1
-3
-1
F =
1
-2
-1
1
3
1
0
1
2
（解答）
xE-A =
x
2
1
-1
x-2
-1
0
-1
x-1
→
-1
x-2
-1
0
-1
x-1
x
2
1
→
-1
x-2
-1
0
-1
x-1
0
x
2
-2x+2
-x+1
→
-1
0
0
0
-1
x-1
0
0
(x-1)
3
→
1
0
0
0
1
0
0
0
(x-1)
3
1
1
0
0
1
1
0
0
1
よって、単因子は (1,1,(x-1)
3
)、Jordan 標準形は
最小多項式は (x-1)
3
である。