（問題）　 有限集合 A と 写像 f : A → A に対して次が同値であることを示せ。
(1) f は 全射　 (2) f は 単射　 (3) f は 全単射　
（解答例） | A | = n とし、 A = { a1,a2 ,..., an } とする。

(1) ⇒ (2) を示す。 全射なので Im f = A であり、 | Im f | = | A | = n となる。
Im f = { f(a1),f(a2),..., f(an) } の元は全て異なるので、単射。

(2) ⇒ (1) を示す。 Im f = { f(a1),f(a2),..., f(an) } の元は全て異なるので、|Im f| = n = | A | を得る。
f は A から A への写像なので、Im f ⊆ A であり、 |Im f| = | A | なので、Im f = A となり、単射。

(1) ⇔ (2) となるので、(1) ⇔ (2) ⇔ (3) を得る。

（発展問題）　 A が無限集合の時、上は正しいか？
（解答例） (1)かつ(2) ⇔ (3) は定義より正しい。 しかし、(1) ⇔ (2) は一般には正しくない。

（反例） Z は整数全体の集合。R は実数全体の集合。

f : Z → Z ( a → 2a ) は 単射ではあるが全射ではない。

g : Z → Z ( a → [a/2]) は 全射ではあるが単射ではない。 （[] ガウス記号。[r] は r をこえない最大の整数。）

h : R → R ( t → 2t ) は 単射ではあるが全射ではない。

j : R → R ( t → t3-t ) は 全射ではあるが単射ではない。

確認してみましょう。