（問題）
集合 A,B,C と写像 f : A→B , g : B→C に対して、次を示せ。
(1) f と g がともに全射ならば、g º f も全射である。
(2) f と g がともに単射ならば、g º f も単射である。
（解答例）
(1) 任意の c ∈ C に対して、g は全射なので ∃b ∈ B such that g(b)=c.
この b ∈ B に対して f は全射なので ∃a ∈ A such that f(a)=b.
したがって、∀c ∈ C に対して ∃a ∈ A such that
(g º f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c
となり、g º f も全射です。
(2) a,a'∈ A (a≠a') に対して、f が単射なので f(a)≠f(a') です。
g が単射なので、f(a)≠f(a') ならば g(f(a))≠g(f(a'))
したがって、a,a∈ A (a≠a') に対して
(g º f)(a) = g(f(a))≠g(f(a')) = (g º f)(a')
となり、g º f も単射となります。
さらに理解を深めるために次の問題も考えてみましょう。
（問題）
集合 A,B,C と写像 f : A→B , g : B→C に対して、次を示せ。
(3) g º f が全射ならば、g は全射である。しかし、f が全射とは限らない。
(4) g º f が単射ならば、f は単射である。しかし、g が単射とは限らない。
（解答例）
(3) 任意の c ∈ C に対して、g º f は全射なので
∃a ∈ A such that (g º f)(a)=c.
この時、b:=f(a) とおけば、g(b)= g(f(a)) = (g º f)(a) = c となります。
したがって、∀c ∈ C に対して ∃b ∈ B such that g(b) =c
となり、g も全射です。
一方、A={1,2},B={3,4,5},C={6,7} に対して、
f(1) = 3, f(2) = 4, g(3)=6, g(4) = g(5) = 7 とおけば、
g º f は全射であるが、f は全射ではありません。
(4) a,a'∈ A に対して、f(a) = f(a') とします。
(g º f)(a) = g(f(a))=g(f(a')) = (g º f)(a') となり、
g º f は単射なので、a=a' となります。
したがって、a,a'∈ A に対して、f(a) = f(a') とすれば、a = a' と
なるので、f は単射であす。
一方、A={1,2},B={3,4,5},C={6,7} に対して、
f(1) = 3, f(2) = 4, g(3)=6, g(4) = g(5) = 7 とおけば、
g º f は単射であるが、g は単射ではありません。