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「 相異なる固有値に属する固有ベクトルの集合は 一次独立である 」

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n 次元ベクトル空間 V 上の線形変換 g を考えます。
u₁,...,u_t は それぞれ相異なる固有値 λ₁,..,λ_t に属する固有ベクトルとします。 （ λ_i ≠λ_i if i ≠ j )
このとき、u₁,...,u_t は 一次独立であることを t に関する帰納法で示します。

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u₁ ≠ 0 は一次独立です。t ≧ 2 とします。

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k₁u₁ + ... + k_t-1u_t-1 + k_tu_t = 0 ( k_i ∈C ) とします。
両辺を g-λ_t1 で移せば、　 k₁(λ₁-λ_t)u₁ + ... + k_t-1(λ_t-1-λ_t)u_t-1 = 0 　 となります。
帰納法の仮定より、u₁,...,u_t-1 は一次独立なので、 係数は全て 0 となり、
k₁ = ... = k_t-1 = 0 を得ます。 最初の式より k_t = 0 です。

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「相異なる固有値に属する固有ベクトルの集合は 一次独立 」です。

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（系） 線形変換 g の相異なる固有値 λ₁ , ... , λ_t に属する固有空間を W₁ , ... , W_t とします。
w_i,1 , ... , w_i,qi が W_i の 一次独立なベクトルならば、それらを並べて得られるベクトルの集合
w_1,1 , ... , w_1,q1 , w_2,1 , ... , w_2,q2　, ... ,　 w_t,1 , ... , w_t,qt 　 は V において一次独立である。

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（証明） k_1,1w_1,1 + ... + k_1,q1w_1,q1 　+ ... +　 k_t,1w_t,1 + ... + k_t,qtw_t,qt = 0 とします。( k_i,j ∈ C )
u_i = k_i,1w_i,1 + ... + k_i,qiw_i,qi とおけば、 u_i ∈ W_i であり、かつ u₁ + ... + u_t = 0 です。
「相異なる固有値に属する固有ベクトルの集合は 一次独立 」なので、 u₁ = ... = u_t = 0 です。
w_i,1 , ... , w_i,qi が W_i の 一次独立なベクトルなので、係数が全て 0 となり、一次独立であることがわかります。

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