対角行列に変換する行列。
n 次元ベクトル空間 V と V の基底 B ={ b1 , ... ,bn }
が与えられているとします。
この時、n 次正方行列 A に対して、V 上の線形変換 f が１対１に対応していました。
一方、成分ベクトルを対応させることで、V と Cn と同一視できました。
基底 B の基底 B に関する成分ベクトルは Cn の標準基底
{ e1 , ... , en } です。
( ej は第 j 成分だけが 1 残りは 0 の n 次数ベクトル。）
そこで、最初から V = Cn とします。
基底 B は V の標準基底に対応します。
この時、f : V → V とは ( v → Av ) であることを確認しましょう。
まず、A の列ベクトルを a1 , ... , an とすれば、
[ f(e1) , ... ,f(en)] =
[ e1 , ... ,en] A =
[ a1 , ... , an ] です。
v ∈ V に対して、
v = v1e1 + ... + vnen ですから、
f(v) = f(v1e1 + ... + vnen ) =
v1f(e1) + ... + vnf(en)
= v1a1 + ... + vnan = Av
です。
したがって、n 次元ベクトル空間 V と基底 B を与えることによって、
V は 標準基底をもつ n 次元数ベクトル空間と思うことができ、
V 上の線形変換 f は n 次正方行列 A と思うことができます。
さらに、f の固有値、固有ベクトル、固有空間は
A の固有値、固有ベクトル、固有空間と同一視できました。
さて、「 A が対角化可能 ⇔ f に関する対角化基底 Y が存在する 」でした。
対角化基底 Y= { p1 , ... , pn } が
存在する場合を考えましょう。
f の標準基底 B に関する表現行列は A です。
f の対角化基底 Y に関する表現行列は対角行列 D です。
一方、基底変換 Y → B の行列は p1 , ... , pn を
横に並べて得られる行列、P =[p1 , ... , pn] ですから、
P-1AP = D となります。
対角化基底は固有ベクトルからなる基底ですから、
各固有空間の次元が重複度と一致する場合にのみ存在しました。
f の固有値 α に属する固有空間とは Ker(α1-f) なので、
次元公式から
(α に属する固有空間の次元) = dim ( Ker (α1-f) ) = n-rank(α1-f)
です。
いま f : V → V とは ( v → Av ) と同一視していますから、
α に属する 固有空間とは (αE-A)x = 0 の核に一致し、
その次元は n-rank (αE-A) です。
ある固有値に対して，重複度と固有空間の次元が一致しないなら，
対角化不可能であり、
全ての固有値に対して，重複度と固有空間の次元が一致するならば、対角化可能です。
各固有空間の基底を並べれば、対角化基底が得られます。
それを並べて得られる行列 P が A を対角化する行列になっています。
目次
に戻る