（問題）
集合族 X において、「対等である」という関係 〜
「 A 〜 B ⇔ ∃f : A → B （全単射）」は同値関係である。
（解答例）
集合族 X において
(1) 任意の A ∈ X に対して、恒等写像 idA は
idA : A → B 全単射なので、 A 〜 A.
（反射律）が成り立つ。
(2) If A 〜 B ならば f : A → B （全単射）が存在する。
このとき、f の 逆写像 f-1 : B → A も
全単射なので、B 〜 A.
（対称律）が成り立つ。
(3) If A 〜 B, B 〜 C ならば
f : A → B （全単射）と g : B → C （全単射）が存在する。
このとき、合成写像 g・f : A → C も 全単射 なので、A 〜 C.
（推移律）が成り立つ。
よって、関係 〜 は同値関係である。
（注意）
反射律 : A 〜 A の証明で次の (i)--(iv) ような答案は減点されます。
(i) 明らかに A 〜 A である。
(ii) ∀A ∈ X に対して、f : A → A は全単射なので、A 〜 A.
(iii) ∀A ∈ X に対して、f : A → A は全単射が存在するので、A 〜 A.
(iv) ∀A ∈ X に対して、f : A → A は 恒等写像なので、全単射である。A 〜 A.
正確には、
∀A ∈ X に対して、恒等写像 idA : A → A は 全単射なので、
A 〜 A である。
（恒等写像の記号は f でもかまいません。）
正解の答案では「恒等写像という『全単射が存在』します」ということを
主張しています。
(i) は何もいっていません。
(ii) は 「A から A の写像は全て全単射である。」といっています。（間違い）
(iii) は 「A から A の『全単射が存在」します。」といっています（正しい）が、
存在することが示されていません。
(iv) は 「A から A の写像は全て恒等写像である。」といっています。（間違い）
正しく、答案が書けるように注意しましょう。
また、逆写像と合成写像が全単射であることの証明も書けるようにしましょう。