（問題）
m は２以上の整数とし、Z は整数全体の集合とする。
Z 上の関係 ≡ を次のように定義すれば同値関係になる。
「 a ≡ b ⇔ a - b = md となる整数 d が存在する。」
（解答例）
(1) ∀a ∈ Z に対して、∃0 ∈ Z such that a - a = 0 = m0
なので、a ≡ a
（反射律）が成り立つ。
(2) a ≡ b ならば ∃d ∈ Z such that a - b = md.
このとき、∃-d ∈ Z such that b - a = m(-d) なので、
b ≡ a.
（対称律）が成り立つ。
(3) a ≡ b かつ b ≡ c とする。
∃h,g ∈ Z such that a - b = mh かつ b - c = mg である。
この時、a - c = (a - b) + (b - c) = mh + mg = m(g+h).
となる g+h ∈ Z が存在するので、a ≡ c.
（推移律）が成り立つ。
したがって、関係 ≡ は同値関係となります。
（注意）
mZ = { mz : z ∈ Z } とおきます。これは ( 0 や負の倍数も含む）
m の倍数全体の集合です。
この集合が Z の加法群としての部分群であることに注意しましょう。
上の関係を書き換えれば
「 a ≡ b ⇔ a - b ∈ mZ 」です。
（可換）群 G の部分群 H による合同関係のひとつの例です。