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同値関係って何？。

数理科学の学生は数理科学入門（集合論）の中で学んだことですね。

「同値関係」の定義
集合 X に定義された関係～が同値関係であるとは次を満たすことである。
(1) a ～ a for all a ∈ X
(2) if a ～ b then b ～ a
(3) if a ～ b and b ～ c then a ～ c

(1) を反射律、(2) を対称律 (3) を推移律といいます。

分かりにくい場合は「同値である」を「仲間である」に置き換えて、
次のようなイメージをして、考えてみましょう。

そのままですね。

(反射律) 全ての人は自分自身の仲間である。
(対称律) a が b の仲間ならば b は a の仲間である。
(推移律) a が b の仲間であり、b が c の仲間ならば a は c の仲間である。

分かりやすい例は、ある学校の生徒の集合において「同じクラスである」という関係を決めます。
(反射律) 全ての人は自分自身と「同じクラスである」
(対称律) A が B と「同じクラスである」ならば B は A と「同じクラスである」
(推移律) A が B と「同じクラス」であり、B が C 「同じクラス」であれば A は C と「同じクラス」である。
それぞれ成り立っていますね。
したがって、「同じクラスである」と関係は同値関係であることがわかりました。

次の関係が「同値関係である」ことを確かめましょう。

(1) m は２以上の整数とする。整数全体の集合 Z において、関係 ≡ を「 a ≡ b ⇔ a - b = md となる整数 d が存在する。」と定義する。
(2) 集合族 X において、「対等である」という関係～を「 A ～ B ⇔ ∃f : A → B （全単射）」と定義する。
(3) 複素数を成分とするn 次正方行列全体の集合を M において、「相似である」という関係～を
「 A ～ B ⇔ ∃P 正則行列 such that B = P^-1AP」と定義する。
(4) ベクトル空間 V の部分空間 W に対して V 上の関係～を「 x ～ y ⇔ x - y ∈ W 」と定義する。

(5) 群 G において、「 x ～ y ⇔ ∃a ∈ G such that x = a^-1ya 」と定義する。
(6) 群 G の部分群 H に対して、「 x ～ y ⇔ xy^-1 ∈ H 」と定義する。

(5)(6) の証明は (3)(4) とそっくりですね。