「 HOTEL N 」 の話。 （第４幕）
「 HOTEL N 」には自然数の数と同じだけの部屋があり、
各部屋には 1, 2, 3, ... , k, ... と番号がつけられています。
問題の最初ではすべて空室であるとします。
[1] 「 HOTEL N 」に次のような客の集合 S がやってきました。
S の客ひとりひとりには自然数の集合 N の部分集合の名札がつけられています。
例えば、
{1},
{1,2,3},
{1,2,3,...,100},
{1,3,5,...,2k+1,..., },
全ての部分集合の名札の人が存在し、違う人の名札の集合は違うものとします。
S の客全体は泊まることができますか ?
今までのことを考えれば、
なんとかすれば、泊れるような気がしなくもありません。
はたしてどうでしょうか？
（答）
泊まることはできません
もしも、泊れたと仮定して、矛盾を導きましょう。
次の方法で自然数の集合 B を作ります。
k 号室の客の名札に k がなければ、k を B に入れる。
k 号室の客の名札に k があれば k を B に入れない。
これを全ての自然数について考えれば 集合 B が決まります。
この時、B の集合を名札に持った客が存在します。
この客の泊まっている部屋の番号を t 号室としましょう。
さて、この客の名札には t が入っていますか？
もし、「 t 号室の客の名札に t がなければ 」、
B の作り方から t を B に入れるので、
「 t 号室の客の名札に t がある 」ことになり矛盾します。
もし、「 t 号室の客の名札に t があれば 」、B の作り方から
t を B に入れないので、
「 t 号室の客の名札に t がない 」ことになり、やはり矛盾します。
「 HOTEL N 」の話、
終了