最大元ではない極大元
集合 X に定義された関係 ← が次をみたす時、順序関係といいます。
また、順序関係が定義された集合を 順序集合 といいます。
(1) 任意の a ∈ X に対して、a ← a
(2) a ← b かつ b ← a ならば a = b
(3) a ← b かつ b ← c ならば a ← c
それぞれ,(1) 反射律、(2) 反対称律、(3) 推移律 といいます。
整数の集合における大小関係 ≦,
集合の族における包含関係 ⊆,
などが具体例になっています。
（確認をしましょう。）
順序集合 X において
「 a ∈ X が最大であるとは b ← a for ∀ b ∈ X 」
「 a ∈ Xが極大であるとは b ∈ X に対して a ← b ならば b = a 」
順序集合において、一般には最大ならば極大です。
（証明）a ∈ X が最大とします。
b ∈ X に対して a ← b とします。
a は 最大なので b ← a,
したがって、反対称律 (2) より b = a が得られ、
a は極大です。
逆は必ずしも成り立ちません。
（逆が成り立たない例）
n(≧3)点集合 A の１点部分集合と２点部分集合全体が
包含関係についてなす順序集合 X です。
X = { B | B ⊆ A, |B|=1,2 }
具体的には A={ 1,2,3 } の時、
X = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} }
です。
2点集合はそれを真に含むものが存在しません。
よって、極大です。
しかし、最大ではありません。
他の２点集合を含まないからです。
この集合には最大元は存在しません。
二つの定義の違いがわかりにくいのは、
一番最初に学ぶ順序集合が大小関係をもつ自然数の集合 N だからです。
この場合は（その任意の有限部分集合集合において）
最大と極大は一致しています。
ここでは次の性質が成り立っていることに注意しましょう。
(4) ∀ a,b ∈ N に対して、a ≦ b または b ≦ a が成り立つ。
このように、すべての２元が比較可能である順序集合を全順序集合といいます。
しかし、上であげた
X = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} }
は全順序ではありません。
例えば、
{1,2} ⊆ {1,3} も成り立ちませんし、
{1,3} ⊆ {1,2} も成り立ちません。
最初にでてきた「maxmal subgroup 」でいえば、
群 G の部分群の集合は一般には全順序ではありません。
例えば 3次対称群 S3 の自明でない部分群は
全て極大ですが最大ではありません。
一般には順序集合において最大元、極大元が存在しているとは限りません。
しかしながら、そのことを考えると、
例えば 素体 などの定義の「体 F の最小の部分体 」や
〈S〉の定義の 「 S をふくむ最小の部分群 」などは、
少し気持ちが悪くなってきます。
ほんとに最小のものが存在するのでしょうか？