Q & A

（問題）５次対称群 S₅ の共役類の個数、各共役類が含む元の個数、各共役類の代表元の中心化群を求めよ。

（解説） n 次の対称群とは、n 点集合 X から X への全単射な写像全体の集合が、写像の合成を演算として定義される群です。通常 S_n という記号であらわされます。
一般に、対称群の元は巡回置換分解することができ、共役であるための必要十分は表示の型が一致することです。
a の中心化群 C_G(a) = { x ∈ G | xa = ax } とは a と交換可能な元全体で G の部分群になります。
これは、G が G 自身に内部自己同型によって作用する時の a の固定部分群であり、 a を含む共役類は a を含む軌道なので、
軌道の長さ = 固定部分群の指数
から中心化群の位数が求められます。

（解答例）右の表のように７つの共役類に分割します

type	rep.	#	C_G(a)
1	e	1	G
2	(1,2)	10	＜ a ＞ × S_{3,4,5}
3	(1,2,3)	20	＜ a ＞ × ＜ (4,5) ＞
4	(1,2,3,4)	30	＜ a ＞
5	(1,2,3,4,5)	24	＜ a ＞
2-2	(1,2)(3,4)	15	＜ (1,2) , (1,3,2,4) ＞
2-3	(1,2)(3,4,5)	20	＜ (1,2) ＞ × ＜ (3,4,5) ＞

元の個数は組み合わせの数なので、直接計算ができますね。
また、表にあげられた元が中心化群に属することは直接確かめられます。後は位数を比較して下さい。

（問題）下記の文章に空欄にあてはまる数 X,Y,Z の和を求めよ。

５次の対称群 G = S₅ の位数は [ X ] である。
G の元 h = (1,2,3)(4,5) が生成する巡回群を H とする時、 G 上の関係～を「a ～ b ⇔ a b^-1 ∈ H 」によって定義をすれば、同値関係となる。この同値関係によって G は [ Y ] 個の同値類に分割する。
また、G 上の関係 ≡ を「a ≡ b ⇔ ∃c ∈ G such that ac= cb 」によって定義をすれば、同値関係となる。この同値関係によって G は [ Z ] 個の同値類に分割する。

（解説）群の位数とは元の個数です。一般には n 次の対称群の位数は n! ですね。
次は G の部分群 H による剰余類への分解です。剰余類の個数 [G:H] を H の指数といいます。
有限群においては [G:H]|H| = |G| が成り立ちます。（ラグランジュの定理）いま H は位数 6 の元 h が生成する巡回群なので、 |H| = 6, |G|=|S_n|=5!. です。
最後は G の共役類への分解です。対称群の共役類は巡回置換分解の型によって決まるので、 1, 2, 3, 4, 5, 2+2, 2+3 と 7 つの共役類に別れます。

（解答） X = 120, Y = 20, Z = 7.