（問題）
5 次対称群 S5 には
指数が 4 の部分群は存在しないことを示せ。
（解説）
証明はいろいろありますが、次を示しましょう。
（問題） は
（問題） の系として得られますね。
（問題）
5 次対称群 S5 の指数が 5 より小さい真部分群は
交代群 A5 だけである。
次のことを示しましょう。
(1)
対称群 S5 の 5 次巡回置換全体がなす共役類
C5 は交代群 A5 を生成する。
(2)
素数 p に対して、 G の位数 p の元 a を含まない部分群 H の
指数は p 以上である。
（解答例）
(1)(2)
を示したとしましょう。
p = 5 として (2) を用いれば、
指数が 5 より小さい S5 の部分群 H は ５次の巡回置換全体を含み、
(1) より 交代群 A5 含みます。
(1) の証明：
３次の巡回置換 (a,b,c) は (a,b,c) = (x,y,c,b,a)(y,x,a,c,b) なので、
５次巡回置換の積で書けます。
また、(a,b)(a,c)=(a,c,b) かつ
(a,b)(c,d)=(a,b)(a,c)(a,c)(c,d)=(a,c,b)(a,c,d) なので
互換の２つの積は３次の巡回置換の積で表せます。
任意の偶置換 σ は 偶数個の互換の積で表すことができ、
２つの互換の積は３次の巡回置換の積で表すことができ、
３次の巡回置換は５次の巡回置換の積で表すことができるので、
σ は５次の巡回置換の積であらわせます。
(2) の証明：
位数が p の元 a が H に含まれないので、〈a〉∩ H = {e} ですね。
H, aH, ... , ap-1H
は全て異なる剰余類であり、[ G : H ] ≧ p を得ます。