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（問題） 整数係数のモニック多項式 f(X) に対して、 f(q) = 0 となる有理数 q は整数であることを示せ。

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（解答例） モニック多項式とは最高次の係数が 1 である多項式なので、

f(X) = Xⁿ + c_n-1X^n-1 + ... + c₁X + c₀
とおきます。 q は有理数なので整数 s,t を用いて q = s/t と表せます。
この時、必要ならば約分して s と t の最大公約数は 1 とします。(s,t) = 1.

0 = f(q) = (s/t)ⁿ + c_n-1(s/t)^n-1 + ... + c₁(s/t) + c₀
なので、両辺に tⁿ をかけて２項以降を移項すれば、

sⁿ = -c_n-1s^n-1t - ... - c₁ s t^n-1 + tⁿc₀
となります。t が 1 でなければ t をわる素数 p が存在し、 p は 右辺を割り切り、したがって、左辺を割り切ります。 この時、p は素数なので s を割り切ります。 これは、s と t の最大公約数が 1 であることに反します。
よって、結論が得られました。

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（解説） ある整数係数のモニック多項式の根となるような複素数を 代数的整数 といいます。
（これに対して通常の整数は有理整数といいます。）
代数的整数の全体の集合を O とします。 この時、上の問題は O ∩ Q = Z というよく知られた事実に対応しています。

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さらに、この集合 O が環になります。 （考えてみましょう。）

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