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（問題） 任意の（可換）体 K には最小の部分体 F が存在する。
この時 F は ある素数 p に対する、Z_p または 有理数体 Q と同型である。

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（ヒント） 最小の部分体（素体）の存在は自分で 確認 をしましょう。
K の単位元 1 に対して、 整数環 Z から K への写像 g を

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g(n)= 1 + … + 1　( n 個の和 ）if n > 0
g(0)= 0
g(n)= (-1) + … + (-1)　( -n 個の和 ）if n < 0
　

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と定義すれば、環準同形になり、 環準同形定理から　Z/(ker g) = (Im g) ⊆ K です。
体の部分環は整域なので、核 (ker g) は Z の素イデアルです。
(ker g)　={0} の時と、(ker g) = pZ の時とにわけて考えましょう。

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（解答例）

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写像 g を上のように定義すれば、環準同形となる。 （確認）
環準同形定理から　Z/(ker g) = (Im g) ⊆ K です。
体 K の部分環 (Im g) は整域なので、核 (ker g) は Z の素イデアルです。
Z は単項イデアル整域であり、 その素イデアルは {0} またはある素数 p に対する pZ です。

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(ker g) = {0} ならば、Z = (Im g) ⊆ K であり、K は体なので、 0 でない任意の整数 m に対して、m^-1 ∈ K, したがって、任意の有理数 n/m が K に含まれ、Q ⊆ K です。
有理数体 Q は真の部分体を含まないので、F = Q となります。

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(ker g) = pZ ならば、Z_p = (Im g) ⊆ K であり、
Z_p は真の部分体を含まないので、F = Z_p となります。

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（確認） 有理数体 Q と Z_p は真の部分体を含まないことを確認しましょう。

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体の最小の部分体を素体といいます。
上で確認したように、素体は Q または Z_p と同形です。
体 K の素体が Z_p の時、K は標数 p であるといい、
体 K の素体が Q の時、K は標数 0 であるといいます。

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