（問題）
可換環 R のイデアル I による剰余環 R/I に対して、
R/I のイデアル と I を含む R のイデアル の間に 一対一の対応
があることを示せ。
（考察）
X = { J : I ⊆ J ⊆ R をみたす R のイデアル},
Y = { J' : R/I のイデアル}
とします。
X と Y の間に一対一の対応（全単射）があることを示します。
f : R → R/I ( r → r+I ) を自然な準同型とします。
このとき f を拡張した写像、
F : X → Y ( J → f(J) ) が 全単射であることを確認しましょう。
(発展)
上の写像 F が包含関係を保存することを確認しましょう。
これから、I を含む R の極大イデアル と R/I の極大イデアルが一対一に対応します。
また J が I を含む R の素イデアル である ⇔
F(J) が R/I の素イデアルも確かめられます。
このことから、
I を含む R の素イデアル と R/I の素イデアルが一対一に対応します。
（解答例）
まずは J ∈ X に対して f(J) = { a+I : a ∈ J }
が R/I のイデアルであることを確認します。
∀ a',b' ∈ f(J) と ∀r' ∈ R/I に対して
a'= a+I, b'= b+I ,r' = r+I となる a,b∈ J と r ∈ R が存在します。
J は R のイデアルなので、a+b, ra ∈ J です。
このとき
a'+ b' = (a+I)+(b+I) = a+b+I = f(a+b) ∈ f(J),
r'a' = (r+I)(a+I) = ra+I = f(ra) ∈ f(J)
となるので、f(J) は R/I のイデアルです。
F が X から Y の写像になることがわかります。
（単射）
∀ J,K ∈ X に対して、F(J) = F(K) とします。このとき
∀ j ∈ J に対して f(j)= j+I ∈ F(J) = F(K) なので
f(k) = j+I となる k ∈ K が存在します。
一方, f(k) = k+I なので j-k ∈ I ⊆ K となり j ∈ K を得ます。J ⊆ K
対称的に K ⊆ J が得られるので K ＝ J となり f は単射です。
（全射）
∀ S ∈ Y に対して、
S* := f-1(S) = { a ∈ R : f(a) ∈ S } とおきます。
( S の逆像 ）
このとき、S* が I を含む R のイデアルであること
を確認します。よって、S* ∈ X です。
よって、∀ S ∈ Y に対して、S* ∈ X
F(S*) = f(S*) = S となるので、 F は 全射です。
(確認)
F が全単射であることがわかりました。
(確認)
S* は I を含む R のイデアルである。
I = 0+I は R/I の零元なので、R/I のイデアル S に含まれます。
よって、その逆像 I = f-1(I) は S の逆像 S* に含まれます。
∀ a,b ∈ S* と ∀r ∈ R に対して、
f(a) = a+I と f(b) = b+I は S に含まれ、f(r) = r+I は R/I の元です。
S は R/I のイデアルなので、
f(a+b) = a+b+I =(a+I)+(b+I) ∈ S
f(ra) =ra+I =(r+I)(a+I) ∈ S
となり
a+b,ra ∈ S* が得られます。S* は R のイデアルです。
(確認)
F(S*) = f(S*) = S
前半は F の定義です。後半は f が全射なので、次の一般論から得られます。
(命題)
g : A → B が全射であれば、
B の部分集合 D とその逆像 C = g-1(D) に対して、
g(C) = D が成り立つ。
(証明)
∀ c ∈ C に対して、逆像の定義より g(c) ∈ D なので g(C) ⊆ D です。
逆に、∀ d ∈ D に対して、g は全射なので ∃a ∈ A, s.t. g(a) = d です。
g(a) = d ∈ D なので、a ∈ C となります。
よって、d = g(a) ∈ g(C) から D ⊆ g(C) を得ます。