(問題) 可換環 R と R' に対して、環準同型写像 f : R → R' の像を S とする。 ( S = Im f = f(R). )
S のイデアル J' の逆像 J = f-1(J') = { a ∈ R | f(a) ∈ J' } に対して、次を示せ。
(1) J は R のイデアルである。
(2) J' が S の素イデアルならば J も R の素イデアルである。
(3) J' が S の極大イデアルならば J も R の極大イデアルである。
(考察) イデアル、素イデアル、極大イデアルの定義に従って証明しましょう。
(解答例) (1) ∀ a,b ∈ J と ∀r ∈ R に対して、 定義より f(a),f(b) ∈ J' と f(r) ∈ S が成り立ちます。
f(a - b) = f(a) - f(b) ∈ J', f(ra) = f(r)f(a) ∈ J' です。 ( J' は S のイデアル。)
よって、a - b, ra ∈ J を得ます。J はイデアルです。

(2) ∀ a,b ∈ R に対して、ab ∈ J ならば f(a)f(b) = f(ab) ∈ J' なので、
f(a) ∈ J' または f(b) ∈ J' です。( J' は S の素イデアル。)
よって、a ∈ J または b ∈ J を得ます。J は R の素イデアルです。

(3) J を真に含む R のイデアルを M とします。( J ⊂ M ⊆ R )
このとき、M の像 M' = f(M) は J' ⊂ M' ⊆ S を満たす S のイデアルです。 (確認)
J' は S の極大イデアルなので、M' = S となります。
R' の単位元 1' は S = M'に含まれるので、 R の単位元 1 は M に含まれ、M = R となります。 J は R の極大イデアルです。
(確認) R のイデアル M の像 M' = f(M) は S のイデアルである。
(1) ∀ a',b' ∈ M' と ∀s ∈ S に対して、 定義より f(a) = a', f(b) = b', f(r) = s を満たすような a,b ∈ M と r ∈ R が存在します。
a' - b' = f(a) - f(b) = f(a - b) ∈ f(M) = M', sa' = f(r)f(a) = f(ra) ∈ f(M) = M' です。( M は R のイデアル。)
よって、M' は S のイデアルです。

(注意) 上の証明で、f(r) = s となる r の存在は重要です。
一般には M' は S のイデアルにはなりますが、R' のイデアルであるとは限りません。

(発展) R' の任意のイデアル J' は R' の零元 0' を含むので、 J' の逆像 f-1(J') は ker f を含むことがわかります。
準同型定理を用いれば R/ker f は Im f = S に同型なので、 S のイデアル J' は R/ker f のイデアルと見なすことができます。

一方で、一般には可換環 R のイデアル I に対して、

X = { J : I ⊆ J ⊆ R をみたす R のイデアル}, Y = { J' : R/I のイデアル}

とおけば、X と Y の間に包含関係を保つような一対一の対応(全単射)があります。 (確認)

I を Ker f とおけば、ker f を含む R のイデアル J と S = R/ker f のイデアル J' の対応が J'= f(J) かつ J = f-1(J') を満たし、
かつ、素イデアルは素イデアルに、極大イデアルは極大イデアルに対応しています。
確認をしてみましょう。