（問題）
体 F 上のベクトル空間 V の部分空間 W ⊆ U に対して、商空間 V/W, V/U, U/W を考える。
V/W が有限次元ならば V/U と U/W も有限次元であり,
dim(V/W) = dim(V/U) + dim(U/W) が成り立つことを示せ。
（考察）
(a) 商空間 V/U, U/W, V/W の基底を比べる方法 と
(b) 線形空間 の 同型定理 から 得る方法 と で示します。
（解答例 a）
V/W の元 v+W に対して v + W = { v + w | w ∈ W } なので、
v ∈ U ⇔ v + w ∈ U (∀ w ∈ W ) ⇔ v + W ∈ U/W
であり、U/W = { u + W | u ∈ U } は V/W の部分空間となります。
したがって、V/W が有限次元ならば U/W も有限次元です。
今、 dim(V/W) = n, dim(U/W) = s とし
u1 + W, ... ,us + W を U/W の基底とします、
また, t = n - s とおき、
u1 + W, ... ,us + W に
v1 + W, ... ,vt + W を付け加えて V/W の基底を得ます
このとき、これらの v1,...,vn ∈ V によって得られる V/U の元
v1 + U, ... ,vt + U が V/U の基底となり、
(確認)
dim(V/W) = n = s + t = dim(U/W) + dim(V/U)
を得ます。
(生成系)
∀v + U ∈ V/U に対して v ∈ V なので v+W ∈ V/W です。
よって 上で与えた V/W の基底を用いて
v + W = c1(u1 + W) + ... + cs(us + W) +
cs+1(v1 + W) + ... + cs+t(vt + W)
と表せます。
このとき
v - (c1u1 + ... + csus+
cs+1v1+ + ... + cs+tvt) ∈ W ⊆ U
であり、u1, ... ,us ∈ U なので、
v - (cs+1v1 + ... + cs+tvt) ∈ U
を得ます。よって、
v + U = cs+1(v1 + U) + ... + cs+t
(vt + U)
となり、v1+U, ... ,vt+U は V/U の生成系です。
cj ∈ F ( j = 1, ... , t) に対して
c1(v1 + U) + ... +ct(vt + U)
= 0 + U
とします。
このとき
c1v1 + ... + ctvt ∈ U
なので
( c1v1 + ... + ctvt ) + W ∈ U/W
であり、U/W の基底 u1 + W, ... ,us + W の一次結合として、
( c1v1 + ... + ctvt ) + W
=
k1(u1 + W) ... + ks(ut + W)
として表せます。よって
c1(v1 + W) + ... + ct(vt + W)
- k1(u1 + W) = ... - ks(ut + W)
= 0 + W
となり
u1 + W, ... ,us + W,
v1 + W, ... ,vt + W
が V/W の基底なので
c1 = ... = cs = k1 = ... = kt = 0
を得ます。よって
v1+U, ... ,vt+U は一次独立となります。
（解答例 b）
写像
f : V/W → U/W ( v + W → v + U )
は全射な線形写像です。
(確認)
その核 ker f = U/W となるので、
(V/W)/(U/W) = (V/W)/ker f Im f = V/U
となり、
dim(V/W) - dim (U/W) = dim (V/U)
を得ます。
(写像)
v + W = v' + W ならば v - v' ∈ W ⊆ U なので v + U = v' + U です。
(全射な線形写像)
∀v + U ∈ V/U に対して v ∈ V より ∃v + W ∈ V/W
such that f(v + W) = v + U.
∀v + W, v'+W ∈ V/W と ∀c ∈F に対して、
f((v + W) + (v' + W)) = f(v + v' + W) = v + v' + U
= (v + U) + (v' + U) = f(v + W)+f(v' + W).
f(c(v + W)) = f(cv + W) = cv + U = c(v + U) = c f(v + W).
(ker f)
∀v + W ∈ V/W に対して
v + W ∈ ker f ⇔ f(v + W) = v + U = 0 + U
⇔ v ∈ U ⇔ v + W ∈ U/W