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（問題） ラグランジュの定理
「有限群 G の部分群 H に対して、|G| = [G:H]|H| が成り立つ。」
を証明せよ。

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（ヒント） まず、記号の説明をしましょう。
群 G の元の個数を G の位数といい、 |G| であらわします。
有限個の元からなる時、有限群といいます。
群 G の部分集合 H が（ G と同じ演算で ) 群となる時、 H は G の部分群といいます。
H が G の部分群である必要十分条件は次が成り立つことです。（確認しましょう）

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ab^-1 ∈ H　 for　∀a,b ∈ H

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G の部分群 H に対して、G　上の関係 〜 を次で定義します。
x y ∈ G に対して 「 x 〜 y ⇔ xy^-1 ∈ H 」
この関係が同値関係になる ことの確認をしましょう。

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この同値関係による、同値類の個数を G の H による 指数　といい、[G:H] とあらわします。

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ラグランジュの定理は、 「上の同値関係で G は　[G:H] 個の同値類に分割し、 かつ各同値類は |H| 個ずつ元を含むので G の元の個数は [G:H]×|H| である。」ということをいっています。

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次を示しましょう。
(1) 上の関係は同値関係である。
(2) a ∈ G を含む同値類は Ha={ ha | h ∈ H} である。
(3) 写像 f : H → Ha (h → ha) は全単射である。
(4) G は [G:H] この同値類に分割し各同値類は |H| 個の元を含む。 したがって、|G|=[G:H]|H| が成り立つ。

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ラグランジュの定理から次の系が得られます。

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（系） 有限群 G の部分群 H の位数と G の H による指数は G の位数の約数である。
特に、G の任意の元の位数も G の位数の約数である。

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（証明） 前半はラグランジュの定理、そのものです。
後半は G の元 x の位数が x が生成する部分群の位数と一致することから得られます。