---

（問題） 可換環 R のイデアル I と J に対して、 IJ = { Σ a_kb_k | a_k ∈ I, b_k ∈ J } は R のイデアルであることを示せ。

---

（考察） 定義 に従って、イデアルであることを示します。
集合 IJ の定義は I の元と J の元の積全体の集合ではなく、 I の元と J の元の積の有限和全体の集合です。
（積全体の集合は一般にはイデアルになりません。）
この「定義の間違え」のために示せないということが結構あるので、 気をつけましょう。

（定義） 可換環 R の部分集合 I が
(1) a-b ∈ I for ∀a,b ∈ I
(2) ra ∈ I for ∀a ∈ I, ∀r ∈ R
を満たすときイデアルといいます。

---

（解答例） ∀ x,y ∈ IJ と ∀r ∈ R に対して
x = Σ_k a_kb_k
y = Σ_h a_hb_h
と有限和で表せます。このとき
x-y = Σ_k a_kb_k - Σ_h a_hb_h
も I の元と J の元の積の有限和として表せます。(1)

また、rx = r(Σ_k a_kb_k) = Σ_k (ra_k) b_k
も I の元と J の元の積の有限和として表せます。(2)

---