Q & A

（問題） (1)(2)(5)(6)(7) は正しければ ○ 正しくなければ × で答えよ。
(3)(4)(8) は数字で解答せよ。

(1) 群 G の部分集合 H に対して、「 H が G の部分群 ⇔ HH ⊆ H ,H^-1 ⊆ H 」が成り立つ。
(2) 群 G の部分群 H,K に対して、「 HK が G の部分群 ⇔ HK = KH 」が成り立つ。
(3) 位数 20 の巡回群は（自明な部分群も含めて）全部でいくつの部分群を含むか？
(4) 下記の文章に空欄にあてはまる数 X,Y,Z の和 X+Y+Z を求めよ。

４次の対称群 G = S₄ の位数は [ X ] である。
G の元 f = (1,2,3,4) が生成する巡回群を H とする時、 G 上の関係～を「a ～ b ⇔ a b^-1 ∈ H 」によって定義をすれば、同値関係となる。この同値関係によって G は [ Y ] 個の同値類に分割する。
また、G 上の関係 ≡ を「a ≡ b ⇔ ∃c ∈ G such that ac= cb 」によって定義をすれば、同値関係となる。この同値関係によって G は [ Z ] 個の同値類に分割する。

(5) G が可換群ならば、任意の部分群 N は正規部分群であり、かつ剰余群 G/N も可換群である。
(6) 群 G において「 x² = e for ∀x ∈ G 」をみたすならば、G は可換群である。（ e は単位元）
(7) ４次の対称群 S₄ の部分集合 N = { e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) } は S₄ の正規部分群である。
(8) 下記の文章に空欄にあてはまる数 X,Y,Z の和を求めよ。

５次の対称群 G = S₅ の位数は [ X ] である。
G の元 h = (1,2,3)(4,5) が生成する巡回群を H とする時、 G 上の関係～を「a ～ b ⇔ a b^-1 ∈ H 」によって定義をすれば、同値関係となる。この同値関係によって G は [ Y ] 個の同値類に分割する。
また、G 上の関係 ≡ を「a ≡ b ⇔ ∃c ∈ G such that ac= cb 」によって定義をすれば、同値関係となる。この同値関係によって G は [ Z ] 個の同値類に分割する。

（解説） (1) 部分群であるための必要十分ですね。 (2) （参考）
(3) 巡回群の部分群は位数の約数の数だけ存在します。　
(4) X = 24, Y = 6, Z = 5.
(5)(6)(7) 定義にしたがって確認を。（参考）
(8) X = 120, Y = 20, Z = 7. （参考）

（解答） ○○ 6,35, ○○○ 147