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（問題） (1) 群 G の正規部分群 H,N が N ⊆ H を満たしていれば、 H/N は G/N の正規部分群であることを示せ。
(2) 群 G の正規部分群 N が G の中心 Z(G) に含まれていて、G/N が巡回群ならば、 G は可換群であることを示せ。
(3) 群 G の元 x と y に対して、xyx^-1y^-1 を x と y の交換子といい、[x,y] と表す。
群 G の部分群 H と K に対して、 [H,K] = ＜[h,k] | h ∈ H, k ∈ K＞ と定める。 D₁ = [G,G], D_i+1 = [D_i,D_i] と帰納的に定義する。 次を示せ。
　(i) D₁ = [G,G] は G の正規部分群である。
　(ii) G の正規部分群 N に対して、「 G/N が可換群 ⇔ D₁ ⊆ N 」
　(iii) アーベル正規列が存在 ⇔ D_s = {e} となる s が存在する。
　(iv) H と K が G の正規部分群ならば [H,K] は H ∩ K の部分群。
　(v) H と K が G の正規部分群で、 G/H と G/K がともに可換群ならば、G/(H ∩ K) も可換群である。
(4) 位数 56 の群は自明でない正規部分群を含むことを示せ。

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（解答例） (1) aN,bN ∈ H/N に対して、(aN)(bN)^-1 = ab^-1 N ∈ H/N,
xN ∈ G/N に対して、(xN)(aN)(xN)^-1 = zaz^-1 N ∈ H/N.

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(2) G/N の生成元を xN とする。任意の a,b ∈ G に対して、 aN,bN ∈ G/N = ＜ xN ＞ なので、aN = xⁱN, bN = x^j N.
x^-ia, x^-jb ∈ N ⊆ Z(G)
x^-i-jab = x^-j(x^-ia) b = (x^-jb) (x^-ia) = x^-i(x^-jb)a = x^-i-jba

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(3) (i) a[x,y]a^-1 = [axa^-1,aya^-1]
(ii) 任意の a,b ∈ G に対して、
G/N が可換群 ⇔ abN = baN ⇔ [a,b] = ab(ba)^-1 ∈ N ⇔ D₁ ⊆ N.
(iii) D_s = {e} となる s が存在すると仮定すれば、
G = D₀ ⊇ D₁ ⊇ ... ⊇ D_s = {e} は (i)(ii) より、アーベル正規列である。
逆に G = N₀ ⊇ N₁ ⊇ ... ⊇ N_s = {e} が アーベル正規列ならば (ii) より、D₁ ⊆ N₁ である。
以下帰納的に D_i+1 = [ D_i, D_i ] ⊆ [ N_i, N_i ] ⊆ N_i+1 となる。 よって、D_s ⊆ N_s = {e}
(vi) 任意の h ∈ H と k ∈ K に対して、 [h,k] = (hkh^-1) k^-1 ∈ K かつ [h,k] = h ( kh^-1k^-1) ∈ H.
(v) (ii) と (iv) より。
(4) Sylow の定理を用います。　56 = 7×2³ です。
7-sylow 群の個数は 7 を法として 1 余る、8 の約数です。
2-sylow 群の個数は 2 を法として 1 余る、7 の約数です。
sylow 群 の個数が１個ならばそれは正規部分群です。
7-sylow 群の個数が８個であったと仮定して、 2-sylow 群の個数が１個であることを示します。
８個の 7-sylow 群を P₁,...,P₈ とします。
この時、各 P_j は位数 7 の巡回群なので、 P_i ∩ P_j = {e}　( 1 ≦ i ＜ j ≦ 8 ) を満たします。
単位元 e 以外の元は全て異なり、 位数７の元が 6×8 = 48 個 存在します。
この集合を S と表し、S = ∪_j(P_j-{e}), T = G - S とします。
任意の 2-sylow 群 Q に対して、 |Q|=8 より S ∩ Q = φ となり、 Q ⊆ T を得ます。
元の個数をくらべれば Q = T を得ます。 よって、 2-sylow 群 は Q = T ただ一つとなり、正規部分群です。

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