さらに理解を深めるために、下記の問題を考えてみましょう。
（問題）
(1) G が 可換群ならばその任意の部分群は正規部分群である。
(2) G が 非可換群ならばその任意の部分群も非可換群である。
(3) ４次の対称群 S4 の位数を求めよ。
（問題）
(4) ４次対称群 S4 には位数が 7 の部分群が存在する。
(5) ５次対称群 S5 には位数が 15 の部分群が存在する。
(6) ５次の対称群 S5 の位数が 5 の部分群の個数を求めよ。
（問題）
G が 集合 X に作用しているとする。
この時、G の部分群 H も X に自然に作用している。
y ∈ X とする。
(7) G の部分群 H が X に可移に作用していれば、G は X に可移に作用する。
(8) G が X に可移に作用していれば、y の固定部分群 Z(y) は
X-{y} に可移に作用する。
(9) 5 次の２面体群 D10 は D10 自身に共役で作用している。
折り返しの元 τ をひとつ固定する。τ を含む軌道の長さを求めよ。
（問題）
(10) 有限群 G の各共役類の長さは G の位数の約数である。
(11) 5 次の２面体群 D10 において、折り返しの元
τ1 と τ2 は共役である。
(12) 5 次の対称群 S5 において、σ=(1,2,3) の中心化群
CS5(σ) の位数を求めよ。
（問題）
5 次の対称群 S5 を考える。
(13) H と H' が ともに S5 の位数 2 の部分群ならば、
H と H' は共役である。
(14) K と K' が ともに S5 の位数 5 の部分群ならば、
K と K' は共役である。
(15) S5 の元 σ =(1,2,3) の中心化群
CS5(σ) の位数を求めよ。
（問題）
(16) 5 次の交代群 A5 の正規部分群は A5 と {e} だけである。
(17) 5 次の交代群 A5 の シロー ３ 部分群の位数は ３ である。
(18) 5 次の交代群 A5 の シロー ３ 部分群の個数を求めよ。
（問題）
(19) 位数が 35 の群は可換群である。
(20) 5 次の対称群 S5 の シロー ５ 部分群の個数は ６個である。
(21) 5 次の対称群 S5 の シロー ５ 部分群のひとつを P とする。
この時、P の S5 における 正規化群 NS5(P)
の位数を求めよ。
（問題）
(22) 位数が ８ の可換群は同型をのぞいて、ちょうど４個存在する。
(23) 位数が ２５ の非可換群が存在する。
(24) 位数が １４ の非可換群 G のシロー ２ 部分群の個数を求めよ。
（問題）
(25) 位数が ３５ の群は巡回群である。
(26) 位数が ３５ の巡回群の部分群の個数は４個である。
(27) 位数が ３５ の巡回群の生成元の個数を求めよ。
（問題）
(28) E が F の代数拡大ならば、K は F の
代数拡大である。
(29) K が F の有限拡大で、E が K の
有限拡大ならば E は F の
代数拡大である。
(30) F = GF(16) の乗法群 F× の部分群の個数を求めよ。
（問題）
F = Z2 （２元体）、上の多項式
g(X) = X4 + X3 + 1 の根を α とする。
E = F(α) とする。
(31) [E:F] = 5 である。
(32) α は E の乗法群 E× の生成元である。
(33) Aut(E/F) の位数を求めよ。
（問題）
(34) ２４個の元からなる有限体が存在する。
(35) １６個の元からなる有限体は，８個の元からなる有限体を部分体として含む。
(36) ６４個の元からなる有限体の部分体の個数を求めよ。
（問題）
体の拡大 F K E を考える。
(37) 有理数体 Q 上の多項式 X4-1 のガロア群はアーベル群である。
(38) 有理数体 Q 上の多項式 X3-3 のガロア群はアーベル群である。
(39) 有理数体 Q 上の多項式 X4-5 のガロア群の位数を求めよ。