さらに理解を深めるために、下記の問題を考えてみましょう。
（問題 1） 群 G において e は単位元、a-1 は a の逆元であるとする。 次に答えよ。
(1) 群 G が 「 g = g-1 for ∀g ∈ G 」を満たせば G は可換群である。
(2) 群 G が 自明な部分群 G と {e} 以外の部分群を持たないならば、 G は可換群である。
(3) 位数が 3125 の可換群は同型を除いていくつ存在するか？ その個数を述べよ。
（問題 2） (1) 4 次の対称群 S4 には全部で４つの正規部分群が存在する。
(2) 5 次の対称群 S5 には全部で５つの正規部分群が存在する。
(3) 6 次の対称群 S6 の互換の個数を求めよ。
（問題 3） (1) x と y が同じ軌道に属するならば、 固定部分群 Gx と Gy は同型である。
(2) 固定部分群 Gx と Gy が一致すれば、 x と y は同じ軌道に属する。
(3) 6 次の対称群 G = S6 が X = S6 に共役 「g(x) =gxg-1」によって作用している時、 互換 x = (1,2) の固定部分群 Gx の位数を求めよ。
（問題 4） (1) N は G の正規部分群、H は N の正規部分群ならば、 H は G の正規部分群である。
(2) N は G の正規部分群、H は G の部分群ならば、 N ∩ H は H の正規部分群である。
(3) 5 次の対称群 G = S5 の元 x = (1,2,3)(4,5) の中心化群 CG(x) の位数を求めよ。
（問題 5）
6 次の交代群 A6 に対して次の問いに答えよ。
(1) A6 の元 x = (1,2,3,4,5) を含む 共役類の長さは 144 である。
(2) G = A6 の元 y = (1,2,3)(4,5,6) の中心化群 CG(y) の位数は 18 である。
(3) A6 の位数 5 の部分群の個数を求めよ。
（問題 6） G は非可換群 (可換群ではない群）とする。次に答えよ。
(1) 位数が 6 の非可換群 G の中心 Z(G) は {e} である。
(2) 位数が 8 の 非可換群 G の中心 Z(G) の位数は 2 である。
(3) 自分の学籍番号下３桁 n に対して、φ(n) を求めよ。
（ただし、φ はオイラーの関数である。 学籍番号が 056573 ならば、n = 573, φ(573) を求める。 ）

（解答 1） ○, ○, 7
(∵) ab = (ab)-1 = b-a-1 = ba. for ∀a,b ∈ G
e ≠ ∀x ∈ G, {e} ≠〈 x 〉は G の部分群、よって、〈 x 〉= G.
有限可換群の基本定理。 55,　5・54,　5・5・53,　 52・53,　5・52・52,　 5・5・5・52,　5・5・5・5・5
（解答 2） ○, ×, 15
(∵) 演習問題 (17).　(6・5)/2 = 15.
（解答 3） ○, ×, 48
(∵) 演習問題 (8).　 可換群 G において、Gx = Gy = G　であるが x と y は共役ではない。
|O(x)| = (6・5)/2 = 15.　 |Gx| = |G|/|O(x)| = 720/15 = 48.
（解答 4） ×, ○, 6
(∵) {e, (1,2)(3,4)} ⊆　V ⊆　S4. ∀a ∈ N ∩ H, ∀g ∈ H に対して、 gag-1 ∈ N （ N は 正規部分群 ), gag-1 ∈ H （ H は 部分群 ).　
|O(x)| = (5・4・3)/3・(2・1)/2 = 20.　 |Gx| = |G|/|O(x)| = 120/20 = 6.
（解答 5） ×, ×, 36
(∵) S6 における 5 型の元は (6・5・4・3・2)/5 = 144.　 であるが、A6 においては 72 + 72 にわかれる。
CG(y) = 〈(1,2,3)〉 × 〈(4,5,6)〉.　 |CG(y)| = 9.
S5 の位数が 5 の元の数は (5・4・3・2・1)/5 = 24 個. 位数が 5 の部分群 H の元 a は単位元以外は位数 5、H　= 〈a〉.
各４個ずつ位数 5 の元を含むので、位数 5 の部分群の個数は 24/4 = 6 個.
（解答 6） ○,　○,　380
(∵) 非可換群の中心の指数は 1 と素数ではない。 （位数が 6 の非可換群は D6 = S3 に同型）　
また、p-群の中心は {e} ではない。
φ(573) = 380. 　φ(n) は下記の表の通りである。
n φ(n)
501 332
502 250
503 502
504 144
505 400
506 220
507 312
508 252
509 508
510 128
n φ(n)
511 432
512 256
513 324
514 256
515 408
516 168
517 460
518 216
519 344
520 192
n φ(n)
521 520
522 168
523 522
524 260
525 240
526 262
527 480
528 160
529 506
530 208
n φ(n)
531 348
532 216
533 480
534 176
535 424
536 264
537 356
538 268
539 420
540 144
n φ(n)
541 540
542 270
543 360
544 256
545 432
546 144
547 546
548 272
549 360
550 200

C